Номер 24.7, страница 201 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 24. Решение уравнений методом замены переменной - номер 24.7, страница 201.

Условие.

24.7. Решите уравнение, используя метод замены переменной:

1) $(x^2 - 2)^2 - 8(x^2 - 2) + 7 = 0;$

2) $(x^2 + 5x)^2 - 2(x^2 + 5x) - 24 = 0;$

3) $(x^2 - 3x + 1)(x^2 - 3x + 3) = 3;$

4) $(x^2 + 2x + 2)(x^2 + 2x - 4) = -5.$

Решение.

1) $(x^2 - 2)^2 - 8(x^2 - 2) + 7 = 0$

Введем замену переменной. Пусть $t = x^2 - 2$.

Тогда исходное уравнение примет вид:

$t^2 - 8t + 7 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $t$. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а произведение равно 7. Отсюда находим корни:

$t_1 = 1$, $t_2 = 7$.

Теперь выполним обратную замену, подставив найденные значения $t$ в выражение $t = x^2 - 2$.

Случай 1: $t_1 = 1$

$x^2 - 2 = 1$

$x^2 = 3$

$x_{1,2} = \pm\sqrt{3}$

Случай 2: $t_2 = 7$

$x^2 - 2 = 7$

$x^2 = 9$

$x_{3,4} = \pm 3$

Таким образом, уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $\pm\sqrt{3}; \pm 3$.

2) $(x^2 + 5x)^2 - 2(x^2 + 5x) - 24 = 0$

В данном уравнении повторяется выражение $x^2 + 5x$. Сделаем замену: $t = x^2 + 5x$.

Уравнение преобразуется к виду:

$t^2 - 2t - 24 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 2, а произведение -24. Корни:

$t_1 = 6$, $t_2 = -4$.

Произведем обратную замену.

Случай 1: $t_1 = 6$

$x^2 + 5x = 6$

$x^2 + 5x - 6 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = -6$.

Случай 2: $t_2 = -4$

$x^2 + 5x = -4$

$x^2 + 5x + 4 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения: $x_3 = -1$ и $x_4 = -4$.

В итоге получаем четыре корня.

Ответ: $-6; -4; -1; 1$.

3) $(x^2 - 3x + 1)(x^2 - 3x + 3) = 3$

Заметим, что в обеих скобках присутствует выражение $x^2 - 3x$. Введем замену $t = x^2 - 3x$.

Тогда уравнение можно переписать в виде:

$(t + 1)(t + 3) = 3$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$t^2 + 3t + t + 3 = 3$

$t^2 + 4t = 0$

Вынесем $t$ за скобки:

$t(t + 4) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для $t$: $t_1 = 0$ и $t_2 = -4$.

Вернемся к исходной переменной $x$.

Случай 1: $t_1 = 0$

$x^2 - 3x = 0$

$x(x - 3) = 0$

Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 3$.

Случай 2: $t_2 = -4$

$x^2 - 3x = -4$

$x^2 - 3x + 4 = 0$

Найдем дискриминант этого уравнения: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7$. Так как $D < 0$, действительных корней в этом случае нет.

Ответ: $0; 3$.

4) $(x^2 + 2x + 2)(x^2 + 2x - 4) = -5$

Введем замену переменной для повторяющегося выражения $x^2 + 2x$. Пусть $t = x^2 + 2x$.

Уравнение принимает вид:

$(t + 2)(t - 4) = -5$

Раскроем скобки и приведем к стандартному квадратному уравнению:

$t^2 - 4t + 2t - 8 = -5$

$t^2 - 2t - 3 = 0$

Найдем корни этого уравнения по теореме Виета: сумма корней равна 2, произведение равно -3. Корни:

$t_1 = 3$ и $t_2 = -1$.

Сделаем обратную замену.

Случай 1: $t_1 = 3$

$x^2 + 2x = 3$

$x^2 + 2x - 3 = 0$

Корни этого уравнения по теореме Виета: $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$.

Случай 2: $t_2 = -1$

$x^2 + 2x = -1$

$x^2 + 2x + 1 = 0$

Это полный квадрат: $(x+1)^2 = 0$. Отсюда $x_3 = -1$.

Объединяя корни из обоих случаев, получаем три различных решения.

Ответ: $-3; -1; 1$.