Номер 24.1, страница 200 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 24. Решение уравнений методом замены переменной - номер 24.1, страница 200.

Условие.

24.1. Решите уравнение:

1) $x^4 - 5x^2 + 4 = 0;$

2) $x^4 - 8x^2 - 9 = 0;$

3) $4x^4 - 9x^2 + 2 = 0;$

4) $3x^4 + 8x^2 - 3 = 0.$

Решение.

1) $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$

Это биквадратное уравнение. Для его решения введем новую переменную.

Пусть $t = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа является неотрицательным, то должно выполняться условие $t \ge 0$.

После замены уравнение примет вид квадратного уравнения относительно переменной $t$:

$t^2 - 5t + 4 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно воспользоваться теоремой Виета: сумма корней равна 5, а их произведение равно 4. Отсюда корни $t_1 = 4$ и $t_2 = 1$.

Либо найдем корни через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$

$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2}$

$t_1 = \frac{5+3}{2} = 4$

$t_2 = \frac{5-3}{2} = 1$

Оба найденных значения для $t$ ($4$ и $1$) удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$:

1. Если $t=4$, то $x^2 = 4$. Отсюда $x = \pm\sqrt{4}$, то есть $x_1 = 2$, $x_2 = -2$.

2. Если $t=1$, то $x^2 = 1$. Отсюда $x = \pm\sqrt{1}$, то есть $x_3 = 1$, $x_4 = -1$.

Уравнение имеет четыре действительных корня.

Ответ: $\{-2; -1; 1; 2\}$.

2) $x^4 - 8x^2 - 9 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$.

Получаем квадратное уравнение:

$t^2 - 8t - 9 = 0$

Решим его. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а произведение -9. Легко подобрать корни $t_1 = 9$ и $t_2 = -1$.

Или через дискриминант:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100$

$t_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{8 \pm 10}{2}$

$t_1 = \frac{8+10}{2} = 9$

$t_2 = \frac{8-10}{2} = -1$

Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$.

Корень $t_1 = 9$ удовлетворяет условию.

Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию ($-1 < 0$), поэтому он является посторонним и не дает действительных решений для $x$.

Выполним обратную замену для подходящего корня $t=9$:

$x^2 = 9$

$x = \pm\sqrt{9}$, то есть $x_1 = 3$, $x_2 = -3$.

Ответ: $\{-3; 3\}$.

3) $4x^4 - 9x^2 + 2 = 0$

Выполним замену переменной $t = x^2$, при условии $t \ge 0$.

Уравнение преобразуется в квадратное:

$4t^2 - 9t + 2 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 2 = 81 - 32 = 49$

Найдем корни для $t$:

$t_{1,2} = \frac{9 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{9 \pm 7}{8}$

$t_1 = \frac{9+7}{8} = \frac{16}{8} = 2$

$t_2 = \frac{9-7}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

Оба корня ($2$ и $\frac{1}{4}$) положительны, следовательно, оба подходят.

Выполним обратную замену для каждого корня:

1. Если $t=2$, то $x^2 = 2$. Отсюда $x = \pm\sqrt{2}$.

2. Если $t=\frac{1}{4}$, то $x^2 = \frac{1}{4}$. Отсюда $x = \pm\sqrt{\frac{1}{4}} = \pm\frac{1}{2}$.

Ответ: $\{-\sqrt{2}; -\frac{1}{2}; \frac{1}{2}; \sqrt{2}\}$.

4) $3x^4 + 8x^2 - 3 = 0$

Сделаем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$.

Получим квадратное уравнение:

$3t^2 + 8t - 3 = 0$

Решим его через дискриминант:

$D = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100$

Найдем корни для $t$:

$t_{1,2} = \frac{-8 \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-8 \pm 10}{6}$

$t_1 = \frac{-8+10}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$t_2 = \frac{-8-10}{6} = \frac{-18}{6} = -3$

Корень $t_1 = \frac{1}{3}$ удовлетворяет условию $t \ge 0$.

Корень $t_2 = -3$ является посторонним, так как не удовлетворяет условию $t \ge 0$.

Выполним обратную замену для $t = \frac{1}{3}$:

$x^2 = \frac{1}{3}$

$x = \pm\sqrt{\frac{1}{3}} = \pm\frac{1}{\sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\{-\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{\sqrt{3}}{3}\}$.