Номер 24.1, страница 200 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков
 
                                                Авторы: Мерзляк А. Г., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-09-087881-4
Популярные ГДЗ в 8 классе
Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 24. Решение уравнений методом замены переменной - номер 24.1, страница 200.
№24.1 (с. 200)
Условие. №24.1 (с. 200)
скриншот условия
 
                                24.1. Решите уравнение:
1) $x^4 - 5x^2 + 4 = 0;$
2) $x^4 - 8x^2 - 9 = 0;$
3) $4x^4 - 9x^2 + 2 = 0;$
4) $3x^4 + 8x^2 - 3 = 0.$
Решение. №24.1 (с. 200)
1) $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$
Это биквадратное уравнение. Для его решения введем новую переменную.
Пусть $t = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа является неотрицательным, то должно выполняться условие $t \ge 0$.
После замены уравнение примет вид квадратного уравнения относительно переменной $t$:
$t^2 - 5t + 4 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Можно воспользоваться теоремой Виета: сумма корней равна 5, а их произведение равно 4. Отсюда корни $t_1 = 4$ и $t_2 = 1$.
Либо найдем корни через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$
$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2}$
$t_1 = \frac{5+3}{2} = 4$
$t_2 = \frac{5-3}{2} = 1$
Оба найденных значения для $t$ ($4$ и $1$) удовлетворяют условию $t \ge 0$.
Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$:
1. Если $t=4$, то $x^2 = 4$. Отсюда $x = \pm\sqrt{4}$, то есть $x_1 = 2$, $x_2 = -2$.
2. Если $t=1$, то $x^2 = 1$. Отсюда $x = \pm\sqrt{1}$, то есть $x_3 = 1$, $x_4 = -1$.
Уравнение имеет четыре действительных корня.
Ответ: $\{-2; -1; 1; 2\}$.
2) $x^4 - 8x^2 - 9 = 0$
Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$.
Получаем квадратное уравнение:
$t^2 - 8t - 9 = 0$
Решим его. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а произведение -9. Легко подобрать корни $t_1 = 9$ и $t_2 = -1$.
Или через дискриминант:
$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100$
$t_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{8 \pm 10}{2}$
$t_1 = \frac{8+10}{2} = 9$
$t_2 = \frac{8-10}{2} = -1$
Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$.
Корень $t_1 = 9$ удовлетворяет условию.
Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию ($-1 < 0$), поэтому он является посторонним и не дает действительных решений для $x$.
Выполним обратную замену для подходящего корня $t=9$:
$x^2 = 9$
$x = \pm\sqrt{9}$, то есть $x_1 = 3$, $x_2 = -3$.
Ответ: $\{-3; 3\}$.
3) $4x^4 - 9x^2 + 2 = 0$
Выполним замену переменной $t = x^2$, при условии $t \ge 0$.
Уравнение преобразуется в квадратное:
$4t^2 - 9t + 2 = 0$
Найдем дискриминант:
$D = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 2 = 81 - 32 = 49$
Найдем корни для $t$:
$t_{1,2} = \frac{9 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{9 \pm 7}{8}$
$t_1 = \frac{9+7}{8} = \frac{16}{8} = 2$
$t_2 = \frac{9-7}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$
Оба корня ($2$ и $\frac{1}{4}$) положительны, следовательно, оба подходят.
Выполним обратную замену для каждого корня:
1. Если $t=2$, то $x^2 = 2$. Отсюда $x = \pm\sqrt{2}$.
2. Если $t=\frac{1}{4}$, то $x^2 = \frac{1}{4}$. Отсюда $x = \pm\sqrt{\frac{1}{4}} = \pm\frac{1}{2}$.
Ответ: $\{-\sqrt{2}; -\frac{1}{2}; \frac{1}{2}; \sqrt{2}\}$.
4) $3x^4 + 8x^2 - 3 = 0$
Сделаем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$.
Получим квадратное уравнение:
$3t^2 + 8t - 3 = 0$
Решим его через дискриминант:
$D = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100$
Найдем корни для $t$:
$t_{1,2} = \frac{-8 \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-8 \pm 10}{6}$
$t_1 = \frac{-8+10}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$t_2 = \frac{-8-10}{6} = \frac{-18}{6} = -3$
Корень $t_1 = \frac{1}{3}$ удовлетворяет условию $t \ge 0$.
Корень $t_2 = -3$ является посторонним, так как не удовлетворяет условию $t \ge 0$.
Выполним обратную замену для $t = \frac{1}{3}$:
$x^2 = \frac{1}{3}$
$x = \pm\sqrt{\frac{1}{3}} = \pm\frac{1}{\sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $\{-\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{\sqrt{3}}{3}\}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 24.1 расположенного на странице 200 к учебнику серии алгоритм успеха 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №24.1 (с. 200), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.
 
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                    