Номер 23.12, страница 192 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 23. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям - номер 23.12, страница 192.

Условие.

23.12. Для каждого значения параметра $a$ решите уравнение:

1) $ \frac{x}{2a} + \frac{2}{x-2} = \frac{3x-2a}{2(x-2)} $

2) $ \frac{x}{x-a} - \frac{2a}{x+a} = \frac{8a^2}{x^2-a^2} $

3) $ \frac{1}{x+2} - \frac{2a-1}{x^2-2x+4} = \frac{6-4a}{x^3+8} $

4) $ \frac{x}{x+a} - \frac{a-2}{x-a} = \frac{4a-2a^2}{x^2-a^2} $

Решение.

1)
Исходное уравнение: $\frac{x}{2a} + \frac{2}{x-2} = \frac{3x-2a}{2a(x-2)}$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, при которых знаменатели не равны нулю: $2a \neq 0$ и $x-2 \neq 0$. Отсюда $a \neq 0$ и $x \neq 2$.
Приведем уравнение к общему знаменателю $2a(x-2)$ и умножим обе части на него:
$x(x-2) + 2(2a) = 3x - 2a$
$x^2 - 2x + 4a = 3x - 2a$
$x^2 - 5x + 6a = 0$
Это квадратное уравнение относительно $x$. Найдем его дискриминант $D$:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (6a) = 25 - 24a$.
Корни уравнения находятся по формуле: $x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24a}}{2}$.
Рассмотрим различные случаи в зависимости от значения параметра $a$:
1. Если $D < 0$, то есть $25 - 24a < 0 \implies a > \frac{25}{24}$, уравнение не имеет действительных корней.
2. Если $D = 0$, то есть $25 - 24a = 0 \implies a = \frac{25}{24}$, уравнение имеет один корень:
$x = \frac{5}{2} = 2.5$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 2$ и $a \neq 0$).
3. Если $D > 0$, то есть $a < \frac{25}{24}$, уравнение имеет два действительных корня:
$x_1 = \frac{5 + \sqrt{25 - 24a}}{2}$ и $x_2 = \frac{5 - \sqrt{25 - 24a}}{2}$.
Необходимо проверить, не нарушают ли эти корни ОДЗ. Условие $a \neq 0$ уже учтено. Проверим, при каких значениях $a$ один из корней равен 2:
$\frac{5 \pm \sqrt{25-24a}}{2} = 2 \implies 5 \pm \sqrt{25-24a} = 4$.
Равенство $5 + \sqrt{25-24a} = 4$ приводит к $\sqrt{25-24a} = -1$, что невозможно.
Равенство $5 - \sqrt{25-24a} = 4$ приводит к $\sqrt{25-24a} = 1$. Возведя обе части в квадрат, получаем $25-24a = 1 \implies 24a = 24 \implies a=1$.
При $a=1$ один из корней равен 2, что недопустимо по ОДЗ. При $a=1$ уравнение принимает вид $x^2 - 5x + 6 = 0$, корнями которого являются $x=2$ и $x=3$. Исключая посторонний корень $x=2$, получаем единственное решение $x=3$.

Ответ: если $a=0$ или $a > \frac{25}{24}$, то корней нет; если $a=\frac{25}{24}$, то $x=\frac{5}{2}$; если $a=1$, то $x=3$; если $a < \frac{25}{24}$ и $a \neq 0$ и $a \neq 1$, то $x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24a}}{2}$.

2)
Исходное уравнение: $\frac{x}{x-a} - \frac{2a}{x+a} = \frac{8a^2}{x^2-a^2}$.
ОДЗ: $x-a \neq 0$ и $x+a \neq 0$, то есть $x \neq a$ и $x \neq -a$.
Так как $x^2-a^2 = (x-a)(x+a)$, умножим обе части уравнения на общий знаменатель:
$x(x+a) - 2a(x-a) = 8a^2$
$x^2 + ax - 2ax + 2a^2 = 8a^2$
$x^2 - ax - 6a^2 = 0$
Это квадратное уравнение относительно $x$. Решим его, разложив на множители:
$(x-3a)(x+2a) = 0$.
Потенциальные корни: $x_1 = 3a$ и $x_2 = -2a$.
Проверим эти корни на соответствие ОДЗ.
Корень $x=3a$ является посторонним, если $3a=a$ или $3a=-a$. Оба равенства выполняются только при $a=0$.
Корень $x=-2a$ является посторонним, если $-2a=a$ или $-2a=-a$. Оба равенства выполняются только при $a=0$.
Рассмотрим случай $a=0$. Исходное уравнение принимает вид $\frac{x}{x} - \frac{0}{x} = \frac{0}{x^2}$ при условии $x \neq 0$. Это упрощается до $1=0$, что является неверным. Следовательно, при $a=0$ решений нет.
Если $a \neq 0$, то оба корня $x=3a$ и $x=-2a$ удовлетворяют ОДЗ и являются решениями.

Ответ: если $a=0$, то корней нет; если $a \neq 0$, то $x_1 = 3a, x_2 = -2a$.

3)
Исходное уравнение: $\frac{1}{x+2} - \frac{2a-1}{x^2-2x+4} = \frac{6-4a}{x^3+8}$.
Используем формулу суммы кубов: $x^3+8 = (x+2)(x^2-2x+4)$.
ОДЗ: $x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$. (Выражение $x^2-2x+4$ всегда больше нуля).
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x+2)(x^2-2x+4)$:
$1(x^2-2x+4) - (2a-1)(x+2) = 6-4a$
$x^2 - 2x + 4 - (2ax + 4a - x - 2) = 6-4a$
$x^2 - 2x + 4 - 2ax - 4a + x + 2 = 6-4a$
$x^2 - x - 2ax + 6 = 6$
$x^2 - (1+2a)x = 0$
$x(x - (1+2a)) = 0$
Потенциальные корни: $x_1=0$ и $x_2=1+2a$.
Проверим их на соответствие ОДЗ ($x \neq -2$).
Корень $x_1=0$ всегда является решением, так как $0 \neq -2$.
Корень $x_2=1+2a$ является посторонним, если $1+2a = -2$, то есть при $a = -\frac{3}{2}$.
Таким образом, если $a = -\frac{3}{2}$, то единственным решением является $x=0$.
Если $a \neq -\frac{3}{2}$, то оба корня $x=0$ и $x=1+2a$ являются решениями.

Ответ: если $a = -\frac{3}{2}$, то $x=0$; если $a \neq -\frac{3}{2}$, то $x_1=0, x_2=1+2a$.

4)
Исходное уравнение: $\frac{x}{x+a} - \frac{a-2}{x-a} = \frac{4a-2a^2}{x^2-a^2}$.
ОДЗ: $x+a \neq 0$ и $x-a \neq 0$, то есть $x \neq -a$ и $x \neq a$.
Умножим обе части на общий знаменатель $x^2-a^2 = (x+a)(x-a)$:
$x(x-a) - (a-2)(x+a) = 4a - 2a^2$
$x^2 - ax - (ax + a^2 - 2x - 2a) = 4a - 2a^2$
$x^2 - 2ax + 2x - a^2 + 2a = 4a - 2a^2$
$x^2 + (2-2a)x + (a^2-2a) = 0$
Найдем дискриминант $D$ этого квадратного уравнения:
$D = (2-2a)^2 - 4(1)(a^2-2a) = 4 - 8a + 4a^2 - 4a^2 + 8a = 4$.
Корни уравнения:
$x = \frac{-(2-2a) \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{2a-2 \pm 2}{2}$.
Получаем два потенциальных корня:
$x_1 = \frac{2a-2+2}{2} = a$
$x_2 = \frac{2a-2-2}{2} = a-2$
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq a, x \neq -a$).
1. Корень $x_1=a$ всегда противоречит ОДЗ ($x \neq a$), поэтому он является посторонним при любом $a$.
2. Корень $x_2=a-2$. Проверим, когда он является посторонним.
$a-2 = a \implies -2=0$, что невозможно.
$a-2 = -a \implies 2a=2 \implies a=1$.
При $a=1$ корень $x_2 = 1-2 = -1$ является посторонним, так как ОДЗ при $a=1$ имеет вид $x \neq 1$ и $x \neq -1$.
Следовательно, при $a=1$ оба потенциальных корня являются посторонними, и решений нет.
При $a \neq 1$ единственным решением является $x=a-2$.

Ответ: если $a=1$, то корней нет; если $a \neq 1$, то $x=a-2$.