Номер 23.15, страница 193 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 23. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям - номер 23.15, страница 193.

Условие.

23.15. При каких значениях параметра a имеет единственный корень уравнение:

1) $\frac{x^2 - ax + 1}{x + 3} = 0;$

2) $\frac{x^2 + (3 - 2a)x + 4a - 10}{x^2 - 4x + 3} = 0;$

3) $\frac{x^2 - ax + a - 1}{\sqrt{x + 1}} = 0? $

Решение.

1) Исходное уравнение $\frac{x^2 - ax + 1}{x+3} = 0$ равносильно системе:$ \begin{cases} x^2 - ax + 1 = 0 \\ x + 3 \neq 0 \end{cases} $то есть, мы ищем значения $a$, при которых квадратное уравнение $x^2 - ax + 1 = 0$ имеет ровно один корень, отличный от $-3$. Это возможно в двух случаях.

Случай 1: Квадратное уравнение имеет единственный корень, и он не равен -3.
Уравнение $x^2 - ax + 1 = 0$ имеет единственный корень, когда его дискриминант $D$ равен нулю.$D = (-a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = a^2 - 4$. Приравнивая дискриминант к нулю, получаем $a^2 - 4 = 0$, откуда $a = 2$ или $a = -2$.
При $a=2$ уравнение принимает вид $x^2 - 2x + 1 = 0$, или $(x-1)^2 = 0$. Единственный корень $x=1$. Так как $1 \neq -3$, значение $a=2$ подходит.
При $a=-2$ уравнение принимает вид $x^2 + 2x + 1 = 0$, или $(x+1)^2 = 0$. Единственный корень $x=-1$. Так как $-1 \neq -3$, значение $a=-2$ подходит.

Случай 2: Квадратное уравнение имеет два различных корня, один из которых равен -3.
Если $x=-3$ является корнем, то он должен удовлетворять уравнению $x^2 - ax + 1 = 0$. Подставляем:$(-3)^2 - a(-3) + 1 = 0 \implies 9 + 3a + 1 = 0 \implies 3a = -10 \implies a = -10/3$. При этом значении $a$ дискриминант должен быть положителен: $D = a^2 - 4 = (-10/3)^2 - 4 = 100/9 - 4 = 64/9 > 0$. Условие выполняется, корней действительно два. Один из них, $x=-3$, исключается, а второй (по теореме Виета $x_1x_2=1 \implies -3x_2=1 \implies x_2=-1/3$) является единственным решением исходного уравнения. Таким образом, $a = -10/3$ подходит.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем искомые значения $a$.

Ответ: $a \in \{-10/3, -2, 2\}$.

2) Исходное уравнение $\frac{x^2 + (3-2a)x + 4a-10}{x^2 - 4x + 3} = 0$ равносильно системе:$ \begin{cases} x^2 + (3-2a)x + 4a-10 = 0 \\ x^2 - 4x + 3 \neq 0 \end{cases} $

Найдем корни знаменателя: $x^2 - 4x + 3 = 0 \implies (x-1)(x-3) = 0$. Таким образом, область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями $x \neq 1$ и $x \neq 3$.

Рассмотрим числитель $x^2 + (3-2a)x + 4a-10 = 0$. Найдем его дискриминант:$D = (3-2a)^2 - 4(4a-10) = 9 - 12a + 4a^2 - 16a + 40 = 4a^2 - 28a + 49 = (2a-7)^2$.

Поскольку дискриминант является полным квадратом, корни уравнения числителя легко найти:$x = \frac{-(3-2a) \pm \sqrt{(2a-7)^2}}{2} = \frac{2a-3 \pm (2a-7)}{2}$. Корни числителя:$x_1 = \frac{2a-3 + (2a-7)}{2} = \frac{4a-10}{2} = 2a-5$.$x_2 = \frac{2a-3 - (2a-7)}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

Исходное уравнение будет иметь единственный корень в следующих случаях:

Случай 1: Корни числителя совпадают, и этот корень не принадлежит множеству $\{1, 3\}$.
$x_1 = x_2 \implies 2a-5 = 2 \implies 2a=7 \implies a=3.5$. При $a=3.5$ числитель имеет единственный корень $x=2$. Так как $2 \neq 1$ и $2 \neq 3$, этот корень является единственным решением исходного уравнения. Значит, $a=3.5$ подходит.

Случай 2: Корни числителя различны ($a \neq 3.5$), но ровно один из них попадает в ОДЗ.
Один из корней, $x_2=2$, всегда входит в ОДЗ, так как $2 \neq 1$ и $2 \neq 3$. Чтобы решение было единственным, второй корень $x_1 = 2a-5$ должен быть равен одному из запрещенных значений (1 или 3).
Если $x_1 = 1$, то $2a-5 = 1 \implies 2a=6 \implies a=3$. При $a=3$ корни числителя — $x=1$ и $x=2$. Корень $x=1$ отбрасывается, остается единственное решение $x=2$. Значит, $a=3$ подходит.
Если $x_1 = 3$, то $2a-5 = 3 \implies 2a=8 \implies a=4$. При $a=4$ корни числителя — $x=3$ и $x=2$. Корень $x=3$ отбрасывается, остается единственное решение $x=2$. Значит, $a=4$ подходит.

Объединяя все подходящие значения, получаем ответ.

Ответ: $a \in \{3; 3,5; 4\}$.

3) Исходное уравнение $\frac{x^2 - ax + a - 1}{\sqrt{x+1}} = 0$ равносильно системе:$ \begin{cases} x^2 - ax + a - 1 = 0 \\ x + 1 > 0 \end{cases} $Условие $x+1 > 0$ (то есть $x > -1$) обеспечивает и область определения квадратного корня, и неравенство знаменателя нулю.

Рассмотрим уравнение числителя: $x^2 - ax + a - 1 = 0$. Его можно преобразовать и разложить на множители:$x^2 - 1 - a(x - 1) = 0$$(x-1)(x+1) - a(x-1) = 0$$(x-1)(x+1-a) = 0$. Корни этого уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = a-1$.

Теперь нужно найти значения $a$, при которых ровно один из этих корней удовлетворяет условию $x > -1$.

Проверим корень $x_1=1$. Так как $1 > -1$, этот корень всегда является потенциальным решением.

Рассмотрим два случая, приводящие к единственному решению.

Случай 1: Корни числителя совпадают.
$x_1 = x_2 \implies 1 = a-1 \implies a=2$. При $a=2$ числитель имеет единственный корень $x=1$. Мы уже установили, что он удовлетворяет условию $x > -1$. Следовательно, при $a=2$ исходное уравнение имеет единственный корень.

Случай 2: Корни числителя различны ($a \neq 2$), но только один из них удовлетворяет условию $x > -1$.
Поскольку корень $x_1=1$ всегда удовлетворяет условию $x > -1$, для единственности решения необходимо, чтобы второй корень $x_2=a-1$ этому условию не удовлетворял. То есть, должно выполняться неравенство $a-1 \le -1$.$a-1 \le -1 \implies a \le 0$. При $a \le 0$ (что также гарантирует $a \neq 2$) корень $x_2=a-1$ не входит в ОДЗ, и единственным решением остается $x_1=1$. Таким образом, все значения $a$ из промежутка $(-\infty, 0]$ подходят.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем искомое множество значений параметра $a$.

Ответ: $a \in (-\infty, 0] \cup \{2\}$.