Номер 24.3, страница 200 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 24. Решение уравнений методом замены переменной - номер 24.3, страница 200.

Условие.

24.3. Решите уравнение:

1) $(x+3)^4 - 3(x+3)^2 - 4 = 0;$

2) $(2x+1)^4 - 10(2x+1)^2 + 9 = 0;$

3) $(6x-7)^4 + 4(6x-7)^2 + 3 = 0;$

4) $(x-4)^4 + 2(x-4)^2 - 8 = 0.$

Решение.

1) $(x + 3)^4 - 3(x + 3)^2 - 4 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной. Пусть $y = (x + 3)^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $y \ge 0$.

Подставим $y$ в исходное уравнение:

$y^2 - 3y - 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $y$. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения. Корнями являются $y_1 = 4$ и $y_2 = -1$.

Проверим условие $y \ge 0$.

Корень $y_1 = 4$ удовлетворяет условию $y \ge 0$.

Корень $y_2 = -1$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$, поэтому он является посторонним.

Вернемся к исходной переменной $x$, используя корень $y = 4$:

$(x + 3)^2 = 4$

Из этого уравнения следует два случая:

1. $x + 3 = 2$, откуда $x = 2 - 3 = -1$.

2. $x + 3 = -2$, откуда $x = -2 - 3 = -5$.

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: -5; -1.

2) $(2x + 1)^4 - 10(2x + 1)^2 + 9 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = (2x + 1)^2$. Условие: $y \ge 0$.

Получаем квадратное уравнение:

$y^2 - 10y + 9 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 10, а произведение равно 9. Корни уравнения: $y_1 = 1$ и $y_2 = 9$.

Оба корня удовлетворяют условию $y \ge 0$.

Сделаем обратную замену для каждого корня.

Случай 1: $y = 1$

$(2x + 1)^2 = 1$

1a. $2x + 1 = 1 \implies 2x = 0 \implies x = 0$.

1б. $2x + 1 = -1 \implies 2x = -2 \implies x = -1$.

Случай 2: $y = 9$

$(2x + 1)^2 = 9$

2a. $2x + 1 = 3 \implies 2x = 2 \implies x = 1$.

2б. $2x + 1 = -3 \implies 2x = -4 \implies x = -2$.

Уравнение имеет четыре корня.

Ответ: -2; -1; 0; 1.

3) $(6x - 7)^4 + 4(6x - 7)^2 + 3 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = (6x - 7)^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, $y \ge 0$.

Уравнение принимает вид:

$y^2 + 4y + 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $y_1 = -1$ и $y_2 = -3$.

Оба полученных значения для $y$ отрицательны, что противоречит условию $y \ge 0$.

Также можно заметить, что для любого действительного $x$ выражение $(6x-7)^2$ является неотрицательным. Обозначим его через $y$. Тогда $y \ge 0$. Левая часть уравнения $y^2 + 4y + 3$ при $y \ge 0$ всегда будет положительной. Действительно, $y^2 \ge 0$, $4y \ge 0$, следовательно $y^2 + 4y + 3 \ge 3$. Левая часть уравнения никогда не может быть равна нулю.

Следовательно, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.

4) $(x - 4)^4 + 2(x - 4)^2 - 8 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = (x - 4)^2$, где $y \ge 0$.

Получаем квадратное уравнение:

$y^2 + 2y - 8 = 0$

Решим его. По теореме Виета, корни $y_1 = 2$ и $y_2 = -4$.

Корень $y_2 = -4$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$, поэтому является посторонним.

Корень $y_1 = 2$ удовлетворяет условию.

Выполним обратную замену:

$(x - 4)^2 = 2$

Извлекаем квадратный корень из обеих частей:

1. $x - 4 = \sqrt{2} \implies x = 4 + \sqrt{2}$.

2. $x - 4 = -\sqrt{2} \implies x = 4 - \sqrt{2}$.

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $4 - \sqrt{2}$; $4 + \sqrt{2}$.