Номер 24.10, страница 201 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 24. Решение уравнений методом замены переменной - номер 24.10, страница 201.

Условие.

24.10. Решите уравнение:

1) $ \frac{x^2 + 2x + 1}{x^2 + 2x + 2} + \frac{x^2 + 2x + 2}{x^2 + 2x + 3} = \frac{7}{6}; $

2) $ \frac{x^2 + 2x + 7}{x^2 + 2x + 3} = 4 + 2x + x^2; $

3) $ \frac{3x^2 - 9x}{2} - \frac{12}{x^2 - 3x} = 3; $

4) $ \frac{1}{x(x+2)} - \frac{1}{(x+1)^2} = \frac{1}{12}. $

Решение.

1)

Дано уравнение: $ \frac{x^2 + 2x + 1}{x^2 + 2x + 2} + \frac{x^2 + 2x + 2}{x^2 + 2x + 3} = \frac{7}{6} $

Заметим, что выражение $x^2 + 2x$ повторяется. Сделаем замену переменной. Пусть $y = x^2 + 2x$. Тогда уравнение примет вид: $ \frac{y + 1}{y + 2} + \frac{y + 2}{y + 3} = \frac{7}{6} $

Область допустимых значений для $y$: $y+2 \neq 0$ и $y+3 \neq 0$, то есть $y \neq -2$ и $y \neq -3$.

Приведем левую часть к общему знаменателю $(y+2)(y+3)$: $ \frac{(y+1)(y+3) + (y+2)^2}{(y+2)(y+3)} = \frac{7}{6} $

Раскроем скобки в числителе: $ \frac{(y^2 + 4y + 3) + (y^2 + 4y + 4)}{y^2 + 5y + 6} = \frac{7}{6} $ $ \frac{2y^2 + 8y + 7}{y^2 + 5y + 6} = \frac{7}{6} $

Используем свойство пропорции: $ 6(2y^2 + 8y + 7) = 7(y^2 + 5y + 6) $ $ 12y^2 + 48y + 42 = 7y^2 + 35y + 42 $

Перенесем все члены в левую часть: $ 12y^2 - 7y^2 + 48y - 35y + 42 - 42 = 0 $ $ 5y^2 + 13y = 0 $ $ y(5y + 13) = 0 $

Отсюда получаем два возможных значения для $y$: $ y_1 = 0 $ $ 5y_2 + 13 = 0 \Rightarrow y_2 = -\frac{13}{5} = -2.6 $

Оба значения удовлетворяют ОДЗ для $y$. Вернемся к исходной переменной $x$.

Случай 1: $y_1 = 0$ $ x^2 + 2x = 0 $ $ x(x + 2) = 0 $ $ x_1 = 0 $, $ x_2 = -2 $

Случай 2: $y_2 = -2.6$ $ x^2 + 2x = -2.6 $ $ x^2 + 2x + 2.6 = 0 $ Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(2.6) = 4 - 10.4 = -6.4$. Так как $D < 0$, в этом случае действительных корней нет.

Проверим, что при найденных корнях знаменатели исходного уравнения не обращаются в ноль. При $x=0$ и $x=-2$ выражение $x^2+2x=0$. Знаменатели равны $0+2=2$ и $0+3=3$, что не равно нулю.

Ответ: -2; 0.

2)

Дано уравнение: $ \frac{x^2 + 2x + 7}{x^2 + 2x + 3} = 4 + 2x + x^2 $

Введем замену переменной $y = x^2 + 2x$. Уравнение примет вид: $ \frac{y + 7}{y + 3} = 4 + y $

ОДЗ: $y+3 \neq 0$, то есть $y \neq -3$.

Умножим обе части на $(y+3)$: $ y + 7 = (y + 4)(y + 3) $ $ y + 7 = y^2 + 3y + 4y + 12 $ $ y + 7 = y^2 + 7y + 12 $

Перенесем все члены в правую часть: $ y^2 + 6y + 5 = 0 $

Решим квадратное уравнение относительно $y$. По теореме Виета: $ y_1 + y_2 = -6 $ $ y_1 \cdot y_2 = 5 $ Корни: $y_1 = -1$, $y_2 = -5$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Вернемся к замене.

Случай 1: $y_1 = -1$ $ x^2 + 2x = -1 $ $ x^2 + 2x + 1 = 0 $ $ (x + 1)^2 = 0 $ $ x = -1 $

Случай 2: $y_2 = -5$ $ x^2 + 2x = -5 $ $ x^2 + 2x + 5 = 0 $ Дискриминант $D = 2^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16$. Так как $D < 0$, действительных корней нет.

Проверим ОДЗ исходного уравнения: знаменатель $x^2 + 2x + 3$ при $x=-1$ равен $(-1)^2 + 2(-1) + 3 = 1 - 2 + 3 = 2 \neq 0$.

Ответ: -1.

3)

Дано уравнение: $ \frac{3x^2 - 9x}{2} - \frac{12}{x^2 - 3x} = 3 $

Вынесем общий множитель в числителе первой дроби: $ \frac{3(x^2 - 3x)}{2} - \frac{12}{x^2 - 3x} = 3 $

Сделаем замену $y = x^2 - 3x$. ОДЗ: $x^2 - 3x \neq 0 \Rightarrow x(x-3) \neq 0 \Rightarrow x \neq 0, x \neq 3$. Тогда $y \neq 0$.

Уравнение примет вид: $ \frac{3y}{2} - \frac{12}{y} = 3 $

Умножим обе части на $2y$ (так как $y \neq 0$): $ 3y^2 - 24 = 6y $ $ 3y^2 - 6y - 24 = 0 $

Разделим уравнение на 3: $ y^2 - 2y - 8 = 0 $

По теореме Виета: $ y_1 + y_2 = 2 $ $ y_1 \cdot y_2 = -8 $ Корни: $y_1 = 4$, $y_2 = -2$. Оба корня удовлетворяют условию $y \neq 0$.

Вернемся к замене.

Случай 1: $y_1 = 4$ $ x^2 - 3x = 4 $ $ x^2 - 3x - 4 = 0 $ По теореме Виета: $x_1 = 4$, $x_2 = -1$.

Случай 2: $y_2 = -2$ $ x^2 - 3x = -2 $ $ x^2 - 3x + 2 = 0 $ По теореме Виета: $x_3 = 1$, $x_4 = 2$.

Все четыре корня $(-1, 1, 2, 4)$ не совпадают с ограничениями ОДЗ ($x \neq 0, x \neq 3$).

Ответ: -1; 1; 2; 4.

4)

Дано уравнение: $ \frac{1}{x(x+2)} - \frac{1}{(x+1)^2} = \frac{1}{12} $

Раскроем скобки в знаменателях: $ \frac{1}{x^2 + 2x} - \frac{1}{x^2 + 2x + 1} = \frac{1}{12} $

Введем замену $y = x^2 + 2x$. ОДЗ: $x^2+2x \neq 0 \Rightarrow x \neq 0, x \neq -2$. $x^2+2x+1 \neq 0 \Rightarrow (x+1)^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$. Для новой переменной ОДЗ: $y \neq 0$ и $y \neq -1$.

Уравнение примет вид: $ \frac{1}{y} - \frac{1}{y+1} = \frac{1}{12} $

Приведем левую часть к общему знаменателю: $ \frac{y+1-y}{y(y+1)} = \frac{1}{12} $ $ \frac{1}{y(y+1)} = \frac{1}{12} $

Отсюда следует: $ y(y+1) = 12 $ $ y^2 + y - 12 = 0 $

Решим квадратное уравнение относительно $y$ по теореме Виета: $ y_1 + y_2 = -1 $ $ y_1 \cdot y_2 = -12 $ Корни: $y_1 = 3$, $y_2 = -4$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ для $y$.

Вернемся к замене.

Случай 1: $y_1 = 3$ $ x^2 + 2x = 3 $ $ x^2 + 2x - 3 = 0 $ По теореме Виета: $x_1 = 1$, $x_2 = -3$.

Случай 2: $y_2 = -4$ $ x^2 + 2x = -4 $ $ x^2 + 2x + 4 = 0 $ Дискриминант $D = 2^2 - 4(1)(4) = 4 - 16 = -12$. Так как $D < 0$, действительных корней нет.

Корни $x=1$ и $x=-3$ удовлетворяют ОДЗ исходного уравнения ($x \neq 0, x \neq -1, x \neq -2$).

Ответ: -3; 1.