Номер 24.11, страница 201 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 24. Решение уравнений методом замены переменной - номер 24.11, страница 201.

Условие.

24.11. Решите уравнение:

1) $\frac{24}{x^2 + 2x - 8} - \frac{15}{x^2 + 2x - 3} = 2;$

2) $\frac{3}{1 + x + x^2} = 3 - x - x^2;$

3) $\frac{x^2 + x - 3}{2} - \frac{3}{2x^2 + 2x - 6} = 1;$

4) $\frac{6}{(x+1)(x+2)} + \frac{8}{(x-1)(x+4)} = 1.$

Решение.

1) $\frac{24}{x^2+2x-8} - \frac{15}{x^2+2x-3} = 2$

Заметим, что в знаменателях обеих дробей присутствует выражение $x^2+2x$. Сделаем замену переменной. Пусть $y = x^2+2x$. Тогда уравнение примет вид:

$\frac{24}{y-8} - \frac{15}{y-3} = 2$

Область допустимых значений для $y$: $y \neq 8$ и $y \neq 3$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(y-8)(y-3)$:

$\frac{24(y-3) - 15(y-8)}{(y-8)(y-3)} = 2$

$24(y-3) - 15(y-8) = 2(y-8)(y-3)$

$24y - 72 - 15y + 120 = 2(y^2 - 3y - 8y + 24)$

$9y + 48 = 2(y^2 - 11y + 24)$

$9y + 48 = 2y^2 - 22y + 48$

$2y^2 - 22y - 9y = 0$

$2y^2 - 31y = 0$

$y(2y - 31) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для $y$:

$y_1 = 0$ или $2y_2 - 31 = 0 \Rightarrow y_2 = \frac{31}{2}$

Оба значения удовлетворяют ОДЗ для $y$. Вернемся к исходной переменной $x$.

Случай 1: $y_1 = 0$

$x^2+2x = 0$

$x(x+2) = 0$

$x_1 = 0$, $x_2 = -2$

Случай 2: $y_2 = \frac{31}{2}$

$x^2+2x = \frac{31}{2}$

$2x^2+4x - 31 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2-4ac = 4^2 - 4(2)(-31) = 16 + 248 = 264$

$\sqrt{D} = \sqrt{264} = \sqrt{4 \cdot 66} = 2\sqrt{66}$

$x_{3,4} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{66}}{4} = \frac{-2 \pm \sqrt{66}}{2}$

Проверим ОДЗ для $x$: $x^2+2x-8 \neq 0 \Rightarrow (x+4)(x-2) \neq 0 \Rightarrow x \neq -4, x \neq 2$. И $x^2+2x-3 \neq 0 \Rightarrow (x+3)(x-1) \neq 0 \Rightarrow x \neq -3, x \neq 1$. Найденные корни не совпадают с ограничениями.

Ответ: $0; -2; \frac{-2 + \sqrt{66}}{2}; \frac{-2 - \sqrt{66}}{2}$.

2) $\frac{3}{1+x+x^2} = 3 - x - x^2$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = 1+x+x^2$. Тогда правую часть уравнения можно записать как $3 - (x+x^2) = 3 - (y-1) = 4-y$.

Уравнение примет вид:

$\frac{3}{y} = 4-y$

Знаменатель $1+x+x^2$ не может быть равен нулю, так как его дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$, а старший коэффициент положителен. Следовательно, $y \neq 0$.

$3 = y(4-y)$

$3 = 4y - y^2$

$y^2 - 4y + 3 = 0$

По теореме Виета находим корни: $y_1 = 1$, $y_2 = 3$.

Вернемся к исходной переменной $x$.

Случай 1: $y_1 = 1$

$1+x+x^2 = 1$

$x^2+x = 0$

$x(x+1) = 0$

$x_1 = 0$, $x_2 = -1$

Случай 2: $y_2 = 3$

$1+x+x^2 = 3$

$x^2+x-2 = 0$

По теореме Виета находим корни: $x_3 = 1$, $x_4 = -2$.

Ответ: $-2; -1; 0; 1$.

3) $\frac{x^2+x-3}{2} - \frac{3}{2x^2+2x-6} = 1$

Заметим, что $2x^2+2x-6 = 2(x^2+x-3)$. Сделаем замену переменной. Пусть $y = x^2+x-3$. Тогда уравнение примет вид:

$\frac{y}{2} - \frac{3}{2y} = 1$

Область допустимых значений: $y \neq 0$.

Умножим обе части уравнения на $2y$:

$y^2 - 3 = 2y$

$y^2 - 2y - 3 = 0$

По теореме Виета находим корни: $y_1 = 3$, $y_2 = -1$.

Оба значения удовлетворяют ОДЗ для $y$. Вернемся к исходной переменной $x$.

Случай 1: $y_1 = 3$

$x^2+x-3 = 3$

$x^2+x-6 = 0$

По теореме Виета находим корни: $x_1 = 2$, $x_2 = -3$.

Случай 2: $y_2 = -1$

$x^2+x-3 = -1$

$x^2+x-2 = 0$

По теореме Виета находим корни: $x_3 = 1$, $x_4 = -2$.

Проверим ОДЗ для $x$: $x^2+x-3 \neq 0$. Так как мы решали для $y=3$ и $y=-1$, это условие выполнено.

Ответ: $-3; -2; 1; 2$.

4) $\frac{6}{(x+1)(x+2)} + \frac{8}{(x-1)(x+4)} = 1$

Раскроем скобки в знаменателях:

$(x+1)(x+2) = x^2+2x+x+2 = x^2+3x+2$

$(x-1)(x+4) = x^2+4x-x-4 = x^2+3x-4$

Уравнение принимает вид:

$\frac{6}{x^2+3x+2} + \frac{8}{x^2+3x-4} = 1$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = x^2+3x$. Тогда:

$\frac{6}{y+2} + \frac{8}{y-4} = 1$

Область допустимых значений для $y$: $y \neq -2$ и $y \neq 4$.

Приведем к общему знаменателю $(y+2)(y-4)$:

$\frac{6(y-4) + 8(y+2)}{(y+2)(y-4)} = 1$

$6(y-4) + 8(y+2) = (y+2)(y-4)$

$6y - 24 + 8y + 16 = y^2 - 4y + 2y - 8$

$14y - 8 = y^2 - 2y - 8$

$y^2 - 2y - 14y = 0$

$y^2 - 16y = 0$

$y(y - 16) = 0$

Отсюда $y_1 = 0$ или $y_2 = 16$. Оба значения удовлетворяют ОДЗ для $y$.

Вернемся к исходной переменной $x$.

Случай 1: $y_1 = 0$

$x^2+3x = 0$

$x(x+3) = 0$

$x_1 = 0$, $x_2 = -3$

Случай 2: $y_2 = 16$

$x^2+3x = 16$

$x^2+3x-16 = 0$

Решим через дискриминант:

$D = 3^2 - 4(1)(-16) = 9 + 64 = 73$

$x_{3,4} = \frac{-3 \pm \sqrt{73}}{2}$

Проверим ОДЗ для $x$: $x \neq -1, x \neq -2, x \neq 1, x \neq -4$. Найденные корни не совпадают с ограничениями.

Ответ: $0; -3; \frac{-3 + \sqrt{73}}{2}; \frac{-3 - \sqrt{73}}{2}$.