Номер 24.14, страница 201 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 24. Решение уравнений методом замены переменной - номер 24.14, страница 201.

Условие.

24.14. Решите уравнение:

1) $(x - 4)(x - 5)(x - 6)(x - 7) = 1680;$

2) $x(x + 3)(x + 5)(x + 8) = 100.$

Решение.

1) $(x - 4)(x - 5)(x - 6)(x - 7) = 1680$

Сгруппируем множители таким образом, чтобы суммы свободных членов в парах были равны. В данном случае, $(-4) + (-7) = -11$ и $(-5) + (-6) = -11$.

Перемножим первую и четвертую скобки, а также вторую и третью:

$((x - 4)(x - 7)) \cdot ((x - 5)(x - 6)) = 1680$

$(x^2 - 7x - 4x + 28)(x^2 - 6x - 5x + 30) = 1680$

$(x^2 - 11x + 28)(x^2 - 11x + 30) = 1680$

Введем замену переменной. Пусть $t = x^2 - 11x$. Уравнение примет вид:

$(t + 28)(t + 30) = 1680$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 + 30t + 28t + 840 = 1680$

$t^2 + 58t + 840 - 1680 = 0$

$t^2 + 58t - 840 = 0$

Найдем дискриминант $D$:

$D = 58^2 - 4(1)(-840) = 3364 + 3360 = 6724 = 82^2$

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{-58 - 82}{2} = \frac{-140}{2} = -70$

$t_2 = \frac{-58 + 82}{2} = \frac{24}{2} = 12$

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, выполнив обратную замену для каждого найденного значения $t$.

Случай 1: $t = -70$

$x^2 - 11x = -70$

$x^2 - 11x + 70 = 0$

Дискриминант этого уравнения: $D_x = (-11)^2 - 4(1)(70) = 121 - 280 = -159$. Так как $D_x < 0$, действительных корней нет.

Случай 2: $t = 12$

$x^2 - 11x = 12$

$x^2 - 11x - 12 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна $11$, а их произведение равно $-12$. Этим условиям удовлетворяют числа $12$ и $-1$.

$x_1 = 12$, $x_2 = -1$.

Ответ: $-1; 12$.

2) $x(x + 3)(x + 5)(x + 8) = 100$

Сгруппируем множители так, чтобы суммы свободных членов в парах были равны. В данном случае, $0 + 8 = 8$ и $3 + 5 = 8$.

Перемножим первый и четвертый множители, а также второй и третий:

$(x(x + 8)) \cdot ((x + 3)(x + 5)) = 100$

$(x^2 + 8x)(x^2 + 5x + 3x + 15) = 100$

$(x^2 + 8x)(x^2 + 8x + 15) = 100$

Введем замену переменной. Пусть $t = x^2 + 8x$. Уравнение примет вид:

$t(t + 15) = 100$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 + 15t - 100 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна $-15$, а их произведение равно $-100$. Этим условиям удовлетворяют числа $5$ и $-20$.

$t_1 = 5$, $t_2 = -20$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, выполнив обратную замену для каждого найденного значения $t$.

Случай 1: $t = 5$

$x^2 + 8x = 5$

$x^2 + 8x - 5 = 0$

Найдем дискриминант $D$:

$D = 8^2 - 4(1)(-5) = 64 + 20 = 84$

Найдем корни для $x$:

$x = \frac{-8 \pm \sqrt{84}}{2} = \frac{-8 \pm \sqrt{4 \cdot 21}}{2} = \frac{-8 \pm 2\sqrt{21}}{2} = -4 \pm \sqrt{21}$

$x_1 = -4 - \sqrt{21}$, $x_2 = -4 + \sqrt{21}$.

Случай 2: $t = -20$

$x^2 + 8x = -20$

$x^2 + 8x + 20 = 0$

Дискриминант этого уравнения: $D_x = 8^2 - 4(1)(20) = 64 - 80 = -16$. Так как $D_x < 0$, действительных корней нет.

Ответ: $-4 - \sqrt{21}; -4 + \sqrt{21}$.