Номер 24.9, страница 201 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 24. Решение уравнений методом замены переменной - номер 24.9, страница 201.

Условие.

24.9. Решите уравнение:

1) $(x^2 - 6x)^2 + (x^2 - 6x) - 56 = 0;$

2) $(x^2 + 8x + 3)(x^2 + 8x + 5) = 63;$

3) $\frac{x^4}{(x-2)^2} - \frac{4x^2}{x-2} - 5 = 0;$

4) $\frac{x+4}{x-3} - \frac{x-3}{x+4} = \frac{3}{2}.$

Решение.

1) Решим уравнение $(x^2 - 6x)^2 + (x^2 - 6x) - 56 = 0$.
Это биквадратное уравнение относительно выражения $x^2 - 6x$. Введем замену переменной. Пусть $t = x^2 - 6x$. Тогда уравнение примет вид:
$t^2 + t - 56 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна $-1$, а произведение равно $-56$. Корни: $t_1 = -8$ и $t_2 = 7$.
Теперь выполним обратную замену.
1. Если $t = -8$, то $x^2 - 6x = -8$.
$x^2 - 6x + 8 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна $6$, а произведение равно $8$. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$.
2. Если $t = 7$, то $x^2 - 6x = 7$.
$x^2 - 6x - 7 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна $6$, а произведение равно $-7$. Корни: $x_3 = 7$ и $x_4 = -1$.
Таким образом, уравнение имеет четыре корня.
Ответ: $-1; 2; 4; 7$.

2) Решим уравнение $(x^2 + 8x + 3)(x^2 + 8x + 5) = 63$.
Введем замену переменной. Пусть $t = x^2 + 8x$. Тогда уравнение примет вид:
$(t + 3)(t + 5) = 63$
Раскроем скобки и решим полученное уравнение:
$t^2 + 5t + 3t + 15 = 63$
$t^2 + 8t + 15 - 63 = 0$
$t^2 + 8t - 48 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна $-8$, а произведение равно $-48$. Корни: $t_1 = -12$ и $t_2 = 4$.
Теперь выполним обратную замену.
1. Если $t = -12$, то $x^2 + 8x = -12$.
$x^2 + 8x + 12 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна $-8$, а произведение равно $12$. Корни: $x_1 = -6$ и $x_2 = -2$.
2. Если $t = 4$, то $x^2 + 8x = 4$.
$x^2 + 8x - 4 = 0$
Решим это квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 64 + 16 = 80$
$\sqrt{D} = \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$
$x_{3,4} = \frac{-8 \pm 4\sqrt{5}}{2} = -4 \pm 2\sqrt{5}$
Таким образом, уравнение имеет четыре корня.
Ответ: $-6; -2; -4 - 2\sqrt{5}; -4 + 2\sqrt{5}$.

3) Решим уравнение $\frac{x^4}{(x-2)^2} - \frac{4x^2}{x-2} - 5 = 0$.
Область допустимых значений (ОДЗ): $x-2 \neq 0$, то есть $x \neq 2$.
Перепишем уравнение в виде:
$(\frac{x^2}{x-2})^2 - 4(\frac{x^2}{x-2}) - 5 = 0$
Введем замену переменной. Пусть $t = \frac{x^2}{x-2}$. Тогда уравнение примет вид:
$t^2 - 4t - 5 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна $4$, а произведение равно $-5$. Корни: $t_1 = 5$ и $t_2 = -1$.
Выполним обратную замену.
1. Если $t = 5$, то $\frac{x^2}{x-2} = 5$.
$x^2 = 5(x-2)$
$x^2 = 5x - 10$
$x^2 - 5x + 10 = 0$
Найдем дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 25 - 40 = -15$. Так как $D < 0$, действительных корней нет.
2. Если $t = -1$, то $\frac{x^2}{x-2} = -1$.
$x^2 = -(x-2)$
$x^2 = -x + 2$
$x^2 + x - 2 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а произведение равно $-2$. Корни: $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 2$).
Ответ: $-2; 1$.

4) Решим уравнение $\frac{x+4}{x-3} - \frac{x-3}{x+4} = \frac{3}{2}$.
Область допустимых значений (ОДЗ): $x-3 \neq 0$ и $x+4 \neq 0$, то есть $x \neq 3$ и $x \neq -4$.
Заметим, что дроби в левой части уравнения являются взаимно обратными. Введем замену переменной. Пусть $t = \frac{x+4}{x-3}$. Тогда уравнение примет вид:
$t - \frac{1}{t} = \frac{3}{2}$
Умножим обе части уравнения на $2t$ (при условии, что $t \neq 0$):
$2t^2 - 2 = 3t$
$2t^2 - 3t - 2 = 0$
Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$
$t_1 = \frac{3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$
$t_2 = \frac{3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2$
Выполним обратную замену.
1. Если $t = -\frac{1}{2}$, то $\frac{x+4}{x-3} = -\frac{1}{2}$.
$2(x+4) = -(x-3)$
$2x + 8 = -x + 3$
$3x = -5$
$x_1 = -\frac{5}{3}$
2. Если $t = 2$, то $\frac{x+4}{x-3} = 2$.
$x+4 = 2(x-3)$
$x+4 = 2x - 6$
$x_2 = 10$
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 3$ и $x \neq -4$).
Ответ: $-\frac{5}{3}; 10$.