Номер 22.25, страница 188 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 22. Квадратный трехчлен - номер 22.25, страница 188.

Условие.

22.25. Решите уравнение $x^4 - 2\sqrt{3}x^2 + x + 3 - \sqrt{3} = 0$.

Решение.

22.25.

Дано уравнение: $x^4 - 2\sqrt{3}x^2 + x + 3 - \sqrt{3} = 0$.

Рассмотрим это уравнение как квадратное относительно $\sqrt{3}$. Для этого сгруппируем члены соответствующим образом:

$3 - (2x^2+1)\sqrt{3} + (x^4+x) = 0$.

Так как $3 = (\sqrt{3})^2$, уравнение можно представить в виде:

$(\sqrt{3})^2 - (2x^2+1)\sqrt{3} + (x^4+x) = 0$.

Это квадратное уравнение относительно переменной $y = \sqrt{3}$. Решим его, используя формулу для корней квадратного уравнения $ay^2+by+c=0$, где $y=\sqrt{3}$, $a=1$, $b=-(2x^2+1)$, $c=x^4+x$:

$\sqrt{3} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{(2x^2+1) \pm \sqrt{(-(2x^2+1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (x^4+x)}}{2 \cdot 1}$.

Вычислим выражение под корнем (дискриминант):

$D = (2x^2+1)^2 - 4(x^4+x) = (4x^4 + 4x^2 + 1) - (4x^4 + 4x) = 4x^2 - 4x + 1 = (2x-1)^2$.

Подставим значение дискриминанта обратно в формулу:

$\sqrt{3} = \frac{2x^2+1 \pm \sqrt{(2x-1)^2}}{2} = \frac{2x^2+1 \pm (2x-1)}{2}$.

Это равенство эквивалентно совокупности двух уравнений:

1) $\sqrt{3} = \frac{2x^2+1 + (2x-1)}{2} = \frac{2x^2+2x}{2} = x^2+x$.

2) $\sqrt{3} = \frac{2x^2+1 - (2x-1)}{2} = \frac{2x^2-2x+2}{2} = x^2-x+1$.

Теперь решим каждое из этих двух квадратных уравнений относительно $x$.

Из первого уравнения получаем:

$x^2 + x - \sqrt{3} = 0$.

Дискриминант $D_1 = 1^2 - 4(1)(-\sqrt{3}) = 1 + 4\sqrt{3}$.

Корни этого уравнения: $x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4\sqrt{3}}}{2}$.

Из второго уравнения получаем:

$x^2 - x + 1 - \sqrt{3} = 0$.

Дискриминант $D_2 = (-1)^2 - 4(1)(1-\sqrt{3}) = 1 - 4 + 4\sqrt{3} = 4\sqrt{3} - 3$.

Так как $4\sqrt{3} = \sqrt{48}$, а $3 = \sqrt{9}$, то $D_2 = \sqrt{48} - \sqrt{9} > 0$, следовательно, уравнение имеет два действительных корня.

Корни этого уравнения: $x_{3,4} = \frac{1 \pm \sqrt{4\sqrt{3} - 3}}{2}$.

Таким образом, мы нашли все четыре корня исходного уравнения.

Ответ: $\frac{-1 + \sqrt{1 + 4\sqrt{3}}}{2}; \frac{-1 - \sqrt{1 + 4\sqrt{3}}}{2}; \frac{1 + \sqrt{4\sqrt{3} - 3}}{2}; \frac{1 - \sqrt{4\sqrt{3} - 3}}{2}$.