Номер 22.17, страница 187 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 22. Квадратный трехчлен - номер 22.17, страница 187.

Условие.

22.17. Сократите дробь:

1) $\frac{3n^2 + mn - 4m^2}{8m^2 + 18mn + 9n^2};$

2) $\frac{12u^2 - 4ut - 5t^2}{-5t^2 + 21ut - 18u^2}.$

Решение.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{3n^2 + mn - 4m^2}{8m^2 + 18mn + 9n^2}$, разложим числитель и знаменатель на множители. Каждый из них представляет собой однородный многочлен второй степени, который можно разложить на множители как квадратный трехчлен.

Сначала разложим числитель $3n^2 + mn - 4m^2$. Будем рассматривать его как квадратный трехчлен относительно переменной $n$. Для этого решим уравнение $3n^2 + (m)n - 4m^2 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = m^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4m^2) = m^2 + 48m^2 = 49m^2$.
Корни уравнения: $n_1 = \frac{-m + \sqrt{49m^2}}{2 \cdot 3} = \frac{-m + 7m}{6} = \frac{6m}{6} = m$;
$n_2 = \frac{-m - \sqrt{49m^2}}{2 \cdot 3} = \frac{-m - 7m}{6} = \frac{-8m}{6} = -\frac{4m}{3}$.
Таким образом, числитель можно разложить на множители: $3(n - n_1)(n - n_2) = 3(n - m)(n - (-\frac{4m}{3})) = 3(n - m)(n + \frac{4m}{3}) = (n - m)(3n + 4m)$.

Теперь разложим знаменатель $8m^2 + 18mn + 9n^2$. Будем рассматривать его как квадратный трехчлен относительно переменной $m$. Для этого решим уравнение $8m^2 + (18n)m + 9n^2 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = (18n)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (9n^2) = 324n^2 - 288n^2 = 36n^2$.
Корни уравнения: $m_1 = \frac{-18n + \sqrt{36n^2}}{2 \cdot 8} = \frac{-18n + 6n}{16} = \frac{-12n}{16} = -\frac{3n}{4}$;
$m_2 = \frac{-18n - \sqrt{36n^2}}{2 \cdot 8} = \frac{-18n - 6n}{16} = \frac{-24n}{16} = -\frac{3n}{2}$.
Таким образом, знаменатель можно разложить на множители: $8(m - m_1)(m - m_2) = 8(m - (-\frac{3n}{4}))(m - (-\frac{3n}{2})) = 8(m + \frac{3n}{4})(m + \frac{3n}{2}) = 4(m + \frac{3n}{4}) \cdot 2(m + \frac{3n}{2}) = (4m + 3n)(2m + 3n)$.

Подставим полученные разложения в исходную дробь:
$\frac{(n - m)(3n + 4m)}{(2m + 3n)(4m + 3n)}$
Сократим общий множитель $(3n + 4m)$:
$\frac{n - m}{2m + 3n}$

Ответ: $\frac{n - m}{2m + 3n}$.

---

2) Чтобы сократить дробь $\frac{12u^2 - 4ut - 5t^2}{-5t^2 + 21ut - 18u^2}$, также разложим числитель и знаменатель на множители.

Сначала разложим числитель $12u^2 - 4ut - 5t^2$. Рассматриваем его как квадратный трехчлен относительно $u$. Решим уравнение $12u^2 - (4t)u - 5t^2 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = (-4t)^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-5t^2) = 16t^2 + 240t^2 = 256t^2$.
Корни уравнения: $u_1 = \frac{4t + \sqrt{256t^2}}{2 \cdot 12} = \frac{4t + 16t}{24} = \frac{20t}{24} = \frac{5t}{6}$;
$u_2 = \frac{4t - \sqrt{256t^2}}{2 \cdot 12} = \frac{4t - 16t}{24} = \frac{-12t}{24} = -\frac{t}{2}$.
Разложение числителя: $12(u - u_1)(u - u_2) = 12(u - \frac{5t}{6})(u - (-\frac{t}{2})) = 12(u - \frac{5t}{6})(u + \frac{t}{2}) = 6(u - \frac{5t}{6}) \cdot 2(u + \frac{t}{2}) = (6u - 5t)(2u + t)$.

Теперь разложим знаменатель $-5t^2 + 21ut - 18u^2$. Перепишем его в более удобном виде: $-18u^2 + 21ut - 5t^2$.
Вынесем $-1$ за скобку: $-(18u^2 - 21ut + 5t^2)$.
Рассмотрим выражение в скобках $18u^2 - 21ut + 5t^2$ как квадратный трехчлен относительно $u$. Решим уравнение $18u^2 - (21t)u + 5t^2 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = (-21t)^2 - 4 \cdot 18 \cdot 5t^2 = 441t^2 - 360t^2 = 81t^2$.
Корни уравнения: $u_1 = \frac{21t + \sqrt{81t^2}}{2 \cdot 18} = \frac{21t + 9t}{36} = \frac{30t}{36} = \frac{5t}{6}$;
$u_2 = \frac{21t - \sqrt{81t^2}}{2 \cdot 18} = \frac{21t - 9t}{36} = \frac{12t}{36} = \frac{t}{3}$.
Разложение выражения в скобках: $18(u - u_1)(u - u_2) = 18(u - \frac{5t}{6})(u - \frac{t}{3}) = 6(u - \frac{5t}{6}) \cdot 3(u - \frac{t}{3}) = (6u - 5t)(3u - t)$.
Следовательно, знаменатель равен $-(6u - 5t)(3u - t)$.

Подставим полученные разложения в исходную дробь:
$\frac{(6u - 5t)(2u + t)}{-(6u - 5t)(3u - t)}$
Сократим общий множитель $(6u - 5t)$:
$\frac{2u + t}{-(3u - t)} = \frac{2u + t}{t - 3u}$.

Ответ: $\frac{2u + t}{t - 3u}$.