Номер 22.13, страница 187 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 22. Квадратный трехчлен - номер 22.13, страница 187.

Условие.

22.13. Постройте график функции:

1) $y=\frac{x^2-2x-8}{x-4}$

2) $y=\frac{x^2-x-2}{x+1}-\frac{x^2-x-30}{x+5}$

Решение.

1)

Исходная функция: $y = \frac{x^2 - 2x - 8}{x - 4}$.

Область определения функции (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель дроби не равен нулю:

$x - 4 \neq 0$, следовательно, $x \neq 4$.

Для упрощения функции разложим числитель $x^2 - 2x - 8$ на множители. Для этого найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 2x - 8 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 2, а их произведение равно -8. Корнями являются $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$.

Тогда числитель можно представить в виде: $x^2 - 2x - 8 = (x - 4)(x + 2)$.

Подставим это выражение в исходную функцию:

$y = \frac{(x - 4)(x + 2)}{x - 4}$

Поскольку $x \neq 4$, мы можем сократить дробь на $(x - 4)$:

$y = x + 2$

Таким образом, график исходной функции совпадает с графиком линейной функции $y = x + 2$ при всех значениях $x$, кроме $x = 4$. В точке, где $x = 4$, на графике будет разрыв (выколотая точка).

Найдем координаты этой точки. Подставим $x = 4$ в упрощенную функцию:

$y = 4 + 2 = 6$

Следовательно, точка с координатами $(4, 6)$ не принадлежит графику функции.

График функции $y = x + 2$ — это прямая. Для ее построения достаточно двух точек. Например, если $x = 0$, то $y = 2$ (точка $(0, 2)$), и если $x = -2$, то $y = 0$ (точка $(-2, 0)$).

Ответ: Графиком функции является прямая $y = x + 2$ с выколотой точкой $(4, 6)$.

2)

Исходная функция: $y = \frac{x^2 - x - 2}{x + 1} - \frac{x^2 - x - 30}{x + 5}$.

Найдем область определения функции. Знаменатели дробей не должны быть равны нулю:

$x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1$

$x + 5 \neq 0 \implies x \neq -5$

Упростим каждую дробь, разложив числители на множители.

Для первой дроби $ \frac{x^2 - x - 2}{x + 1} $: найдем корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$. Тогда $x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$.

Для второй дроби $ \frac{x^2 - x - 30}{x + 5} $: найдем корни уравнения $x^2 - x - 30 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 6$ и $x_2 = -5$. Тогда $x^2 - x - 30 = (x - 6)(x + 5)$.

Подставим разложения в исходную функцию:

$y = \frac{(x - 2)(x + 1)}{x + 1} - \frac{(x - 6)(x + 5)}{x + 5}$

Учитывая область определения ($x \neq -1$ и $x \neq -5$), сократим дроби:

$y = (x - 2) - (x - 6)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$y = x - 2 - x + 6 = 4$

Получили, что функция имеет вид $y = 4$ при всех $x$ из области определения. Это означает, что график функции — это горизонтальная прямая, из которой исключены точки, соответствующие значениям $x = -1$ и $x = -5$.

Координаты выколотых точек:

при $x = -1$, $y = 4$, то есть точка $(-1, 4)$.

при $x = -5$, $y = 4$, то есть точка $(-5, 4)$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = 4$ с выколотыми точками $(-1, 4)$ и $(-5, 4)$.