Номер 22.8, страница 186 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 22. Квадратный трехчлен - номер 22.8, страница 186.

Условие.

22.8. При каком значении параметра $b$ разложение на линейные множители трёхчлена:

1) $-4x^2 + bx + 2$ содержит множитель $(x + 1)$;

2) $3x^2 - 4x + b$ содержит множитель $x - \frac{2}{3}$?

Решение.

1) $-4x^2 + bx + 2$ содержит множитель $(x + 1)$

Если разложение квадратного трехчлена на множители содержит множитель вида $(x - x_0)$, то это означает, что $x_0$ является корнем этого трехчлена. Это является следствием из теоремы Безу.

В данном случае множитель равен $(x + 1)$, что можно записать как $(x - (-1))$. Следовательно, $x_0 = -1$ является корнем трехчлена $-4x^2 + bx + 2$.

Подставим значение $x = -1$ в выражение и приравняем его к нулю, чтобы найти параметр $b$:

$ -4(-1)^2 + b(-1) + 2 = 0 $

Выполним вычисления:

$ -4(1) - b + 2 = 0 $

$ -4 - b + 2 = 0 $

$ -2 - b = 0 $

Отсюда находим $b$:

$ b = -2 $

Ответ: $b = -2$.

2) $3x^2 - 4x + b$ содержит множитель $x - \frac{2}{3}$?

Аналогично первому пункту, если разложение трехчлена $3x^2 - 4x + b$ содержит множитель $(x - \frac{2}{3})$, то $x = \frac{2}{3}$ является корнем этого трехчлена.

Подставим $x = \frac{2}{3}$ в выражение и приравняем его к нулю:

$ 3\left(\frac{2}{3}\right)^2 - 4\left(\frac{2}{3}\right) + b = 0 $

Выполним вычисления:

$ 3 \cdot \frac{4}{9} - \frac{8}{3} + b = 0 $

$ \frac{12}{9} - \frac{8}{3} + b = 0 $

Сократим дробь $\frac{12}{9}$ до $\frac{4}{3}$:

$ \frac{4}{3} - \frac{8}{3} + b = 0 $

$ -\frac{4}{3} + b = 0 $

Отсюда находим $b$:

$ b = \frac{4}{3} $

Ответ: $b = \frac{4}{3}$.