Номер 22.1, страница 186 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 22. Квадратный трехчлен - номер 22.1, страница 186.

Условие.

22.1. Разложите на линейные множители квадратный трёхчлен:

1) $x^2 + 8x + 15;$

2) $-x^2 + x + 2;$

3) $-3a^2 + 8a + 3;$

4) $\frac{1}{6}b^2 - \frac{5}{6}b + 1;$

5) $0,4x^2 - 2x + 2,5;$

6) $-1,2m^2 + 2,6m - 1.$

Решение.

1) Чтобы разложить квадратный трёхчлен $x^2 + 8x + 15$ на линейные множители, необходимо найти корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 8x + 15 = 0$.
Для этого воспользуемся формулой корней квадратного уравнения $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где дискриминант $D = b^2 - 4ac$.
В данном случае коэффициенты равны: $a=1$, $b=8$, $c=15$.
Вычислим дискриминант: $D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4$.
Теперь найдём корни уравнения:
$x_1 = \frac{-8 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 - 2}{2} = -5$
$x_2 = \frac{-8 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 + 2}{2} = -3$
Разложение квадратного трёхчлена на множители имеет вид $a(x - x_1)(x - x_2)$.
Подставив найденные корни, получаем: $x^2 + 8x + 15 = 1 \cdot (x - (-5))(x - (-3)) = (x+5)(x+3)$.
Ответ: $(x+3)(x+5)$.

2) Рассмотрим трёхчлен $-x^2 + x + 2$. Для его разложения на множители решим уравнение $-x^2 + x + 2 = 0$.
Коэффициенты: $a=-1$, $b=1$, $c=2$.
Найдём дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 2 = 1 + 8 = 9$.
Найдём корни:
$x_1 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot (-1)} = \frac{-1 - 3}{-2} = \frac{-4}{-2} = 2$
$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot (-1)} = \frac{-1 + 3}{-2} = \frac{2}{-2} = -1$
Используя формулу $a(x - x_1)(x - x_2)$, получаем:
$-x^2 + x + 2 = -1 \cdot (x - 2)(x - (-1)) = -(x-2)(x+1)$.
Ответ: $-(x+1)(x-2)$.

3) Разложим на множители трёхчлен $-3a^2 + 8a + 3$.
Найдём корни уравнения $-3a^2 + 8a + 3 = 0$.
Коэффициенты: $a=-3$, $b=8$, $c=3$.
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot (-3) \cdot 3 = 64 + 36 = 100$.
Корни уравнения:
$a_1 = \frac{-8 - \sqrt{100}}{2 \cdot (-3)} = \frac{-8 - 10}{-6} = \frac{-18}{-6} = 3$
$a_2 = \frac{-8 + \sqrt{100}}{2 \cdot (-3)} = \frac{-8 + 10}{-6} = \frac{2}{-6} = -\frac{1}{3}$
Подставляем в формулу разложения $a(x - x_1)(x - x_2)$:
$-3a^2 + 8a + 3 = -3(a - 3)(a - (-\frac{1}{3})) = -3(a-3)(a+\frac{1}{3})$.
Ответ: $-3(a-3)(a+\frac{1}{3})$.

4) Разложим на множители трёхчлен $\frac{1}{6}b^2 - \frac{5}{6}b + 1$.
Найдём корни уравнения $\frac{1}{6}b^2 - \frac{5}{6}b + 1 = 0$.
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на 6: $b^2 - 5b + 6 = 0$.
Это приведённое квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Отсюда легко найти корни: $b_1 = 2$ и $b_2 = 3$.
Для разложения используем исходный коэффициент $a = \frac{1}{6}$.
$\frac{1}{6}b^2 - \frac{5}{6}b + 1 = \frac{1}{6}(b - 2)(b - 3)$.
Ответ: $\frac{1}{6}(b-2)(b-3)$.

5) Разложим на множители трёхчлен $0,4x^2 - 2x + 2,5$.
Найдём корни уравнения $0,4x^2 - 2x + 2,5 = 0$.
Коэффициенты: $a=0,4$, $b=-2$, $c=2,5$.
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 0,4 \cdot 2,5 = 4 - 4 \cdot 1 = 0$.
Так как $D=0$, уравнение имеет один корень (или два совпадающих корня):
$x_1 = x_2 = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-2)}{2 \cdot 0,4} = \frac{2}{0,8} = \frac{20}{8} = \frac{5}{2} = 2,5$.
Формула разложения в этом случае имеет вид $a(x - x_1)^2$.
$0,4x^2 - 2x + 2,5 = 0,4(x - 2,5)^2$.
Ответ: $0,4(x-2,5)^2$.

6) Разложим на множители трёхчлен $-1,2m^2 + 2,6m - 1$.
Найдём корни уравнения $-1,2m^2 + 2,6m - 1 = 0$.
Коэффициент $a=-1,2$. Чтобы упростить вычисления, умножим уравнение на -10: $12m^2 - 26m + 10 = 0$.
Разделим уравнение на 2: $6m^2 - 13m + 5 = 0$.
Найдём дискриминант для этого уравнения: $D = (-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 5 = 169 - 120 = 49$.
Найдём корни:
$m_1 = \frac{-(-13) - \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{13 - 7}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$
$m_2 = \frac{-(-13) + \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{13 + 7}{12} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$
Для разложения на множители используем коэффициент $a$ из исходного трёхчлена: $a=-1,2$.
$-1,2m^2 + 2,6m - 1 = -1,2(m - \frac{1}{2})(m - \frac{5}{3})$.
Ответ: $-1,2(m-\frac{1}{2})(m-\frac{5}{3})$.