Номер 21.42, страница 181 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 21. Теорема Виета - номер 21.42, страница 181.

Условие.

21.42. При каких значениях параметра $a$ сумма квадратов корней уравнения $x^2 + ax + a^2 - 2 = 0$ является наибольшей?

Решение.

Для того чтобы данное квадратное уравнение имело действительные корни, его дискриминант $D$ должен быть неотрицательным.

Уравнение: $x^2 + ax + a^2 - 2 = 0$.
Коэффициенты: $A=1$, $B=a$, $C=a^2-2$.

Найдем дискриминант:
$D = B^2 - 4AC = a^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2 - 2) = a^2 - 4a^2 + 8 = 8 - 3a^2$.

Условие существования корней $D \ge 0$:
$8 - 3a^2 \ge 0$
$3a^2 \le 8$
$a^2 \le \frac{8}{3}$
$-\sqrt{\frac{8}{3}} \le a \le \sqrt{\frac{8}{3}}$
$-\frac{2\sqrt{6}}{3} \le a \le \frac{2\sqrt{6}}{3}$.
Это область допустимых значений параметра $a$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни данного уравнения. По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -a$
$x_1 x_2 = a^2 - 2$

Сумма квадратов корней, которую мы обозначим как $S$, выражается следующим образом:
$S = x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.

Подставим выражения из теоремы Виета:
$S(a) = (-a)^2 - 2(a^2 - 2) = a^2 - 2a^2 + 4 = -a^2 + 4$.

Теперь нам нужно найти наибольшее значение функции $S(a) = -a^2 + 4$ на отрезке $[-\frac{2\sqrt{6}}{3}; \frac{2\sqrt{6}}{3}]$.
График функции $S(a)$ — это парабола, ветви которой направлены вниз. Своего наибольшего значения она достигает в вершине.
Абсцисса вершины параболы $a_0$ находится по формуле $a_0 = -\frac{k}{2m}$, где $m$ и $k$ - коэффициенты в $ma^2+ka+l=0$. В нашем случае $S(a)=-1 \cdot a^2 + 0 \cdot a + 4$, поэтому $a_0 = -\frac{0}{2 \cdot (-1)} = 0$.

Поскольку значение $a=0$ принадлежит отрезку допустимых значений $[-\frac{2\sqrt{6}}{3}; \frac{2\sqrt{6}}{3}]$, то именно при $a=0$ функция $S(a)$ принимает свое наибольшее значение.

Ответ: при $a=0$.