Номер 21.40, страница 181 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 21. Теорема Виета - номер 21.40, страница 181.

Условие.

21.40. При каких значениях параметра $a$ сумма квадратов корней уравнения $x^2 + (a - 1)x - 2a = 0$ равна 9?

Решение.

Дано квадратное уравнение $x^2 + (a - 1)x - 2a = 0$. Обозначим его корни как $x_1$ и $x_2$. По условию задачи требуется найти значения параметра $a$, при которых сумма квадратов корней равна 9, то есть $x_1^2 + x_2^2 = 9$.

Первое условие, которое необходимо выполнить, — это наличие у уравнения действительных корней. Это означает, что дискриминант $D$ уравнения должен быть неотрицательным ($D \ge 0$).

Вычислим дискриминант для данного уравнения, где коэффициенты равны $A=1$, $B=(a-1)$, $C=-2a$:
$D = B^2 - 4AC = (a-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2a) = a^2 - 2a + 1 + 8a = a^2 + 6a + 1$.
Следовательно, для существования действительных корней должно выполняться неравенство: $a^2 + 6a + 1 \ge 0$.

Далее воспользуемся теоремой Виета для связи корней с коэффициентами уравнения:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{B}{A} = -(a-1) = 1-a$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{C}{A} = -2a$.

Сумму квадратов корней можно выразить через их сумму и произведение с помощью тождества:
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2) - 2x_1x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.

Теперь подставим в это тождество выражения из теоремы Виета и приравняем результат к 9, как указано в условии задачи:
$(1-a)^2 - 2(-2a) = 9$
$(a^2 - 2a + 1) + 4a = 9$
$a^2 + 2a + 1 = 9$
$a^2 + 2a - 8 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно параметра $a$. Решим его. Можно снова применить теорему Виета: произведение корней $a_1 \cdot a_2 = -8$, а их сумма $a_1 + a_2 = -2$. Этим условиям удовлетворяют числа 2 и -4.
Таким образом, получаем два возможных значения для $a$: $a_1 = 2$ и $a_2 = -4$.

На последнем шаге необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные значения $a$ условию неотрицательности дискриминанта $a^2 + 6a + 1 \ge 0$.
1. Проверка для $a = 2$:
$2^2 + 6 \cdot 2 + 1 = 4 + 12 + 1 = 17$.
Поскольку $17 \ge 0$, это значение параметра подходит.
2. Проверка для $a = -4$:
$(-4)^2 + 6 \cdot (-4) + 1 = 16 - 24 + 1 = -7$.
Поскольку $-7 < 0$, это значение параметра не подходит, так как при $a=-4$ исходное уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, единственным значением параметра, удовлетворяющим всем условиям задачи, является $a=2$.
Ответ: 2