Номер 21.41, страница 181 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 21. Теорема Виета - номер 21.41, страница 181.

Условие.

21.41. При каких значениях параметра $a$ сумма квадратов корней уравнения $x^2 + 2ax - 3 = 0$ является наименьшей?

Решение.

Рассмотрим квадратное уравнение $x^2 + 2ax - 3 = 0$.

Чтобы найти сумму квадратов корней, сначала необходимо убедиться, что корни существуют. Для этого найдем дискриминант $D$ данного уравнения.

$D = (2a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4a^2 + 12$.

Поскольку $a^2 \ge 0$ для любого действительного $a$, то $4a^2 \ge 0$, а значит $D = 4a^2 + 12 \ge 12$.

Так как $D > 0$ при любом значении $a$, уравнение всегда имеет два различных действительных корня.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни этого уравнения. Согласно теореме Виета:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -2a$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -3$

Нас интересует сумма квадратов корней, то есть выражение $x_1^2 + x_2^2$. Выразим его через сумму и произведение корней:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.

Теперь подставим выражения из теоремы Виета:

$x_1^2 + x_2^2 = (-2a)^2 - 2(-3) = 4a^2 + 6$.

Мы получили функцию, зависящую от параметра $a$: $S(a) = 4a^2 + 6$. Нам нужно найти, при каком значении $a$ эта функция принимает наименьшее значение.

Функция $S(a) = 4a^2 + 6$ является квадратичной. Ее график — парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $a^2$ положителен ($4 > 0$). Наименьшее значение такая функция принимает в своей вершине.

Координата вершины параболы $y = kx^2 + lx + m$ находится по формуле $x_0 = -l/(2k)$. В нашем случае $S(a) = 4a^2 + 0a + 6$, где $k=4$ и $l=0$.

Найдем значение $a$ в вершине:

$a = -\frac{0}{2 \cdot 4} = 0$.

Таким образом, сумма квадратов корней является наименьшей при $a = 0$.

Ответ: $a=0$.