Номер 21.43, страница 181 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 21. Теорема Виета - номер 21.43, страница 181.

Условие.

21.43. В саду посадили рядами 48 деревьев с одинаковым количеством деревьев в каждом ряду. Рядов оказалось на 8 меньше, чем деревьев в каждом из них. Сколько деревьев посадили в каждом ряду и сколько было рядов?

Решение.

Пусть $x$ — количество деревьев в каждом ряду, а $y$ — количество рядов.

Согласно условию задачи, всего было посажено 48 деревьев. Общее количество деревьев равно произведению количества рядов на количество деревьев в одном ряду. Это можно выразить уравнением:

$x \cdot y = 48$

Также в условии сказано, что рядов оказалось на 8 меньше, чем деревьев в каждом из них. Это можно записать как второе уравнение:

$y = x - 8$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} x \cdot y = 48 \\ y = x - 8 \end{cases}$

Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:

$x \cdot (x - 8) = 48$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:

$x^2 - 8x = 48$

$x^2 - 8x - 48 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 64 + 192 = 256$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-(-8) \pm \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm 16}{2}$

Вычислим оба корня:

$x_1 = \frac{8 + 16}{2} = \frac{24}{2} = 12$

$x_2 = \frac{8 - 16}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Поскольку $x$ представляет собой количество деревьев в ряду, это значение не может быть отрицательным. Следовательно, корень $x_2 = -4$ не является решением задачи.

Таким образом, количество деревьев в каждом ряду равно 12.

Теперь найдем количество рядов $y$, подставив значение $x = 12$ во второе уравнение системы:

$y = x - 8 = 12 - 8 = 4$

Проверим полученные значения: общее количество деревьев $12 \cdot 4 = 48$, что соответствует условию. Количество рядов (4) на 8 меньше количества деревьев в каждом ряду (12), что также соответствует условию ($12 - 4 = 8$).

Ответ: в каждом ряду посадили 12 деревьев, а всего было 4 ряда.