Номер 21.39, страница 180 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 21. Теорема Виета - номер 21.39, страница 180.

Условие.

21.39. При каких значениях параметра $a$ сумма квадратов корней уравнения $x^2 - 4x + a = 0$ равна:

1) 12;

2) 6?

Решение.

Дано квадратное уравнение $x^2 - 4x + a = 0$.

Для того чтобы уравнение имело действительные корни, его дискриминант $D$ должен быть неотрицательным ($D \ge 0$).

Найдем дискриминант:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot a = 16 - 4a$.

Решим неравенство $D \ge 0$:

$16 - 4a \ge 0$

$16 \ge 4a$

$a \le 4$

Таким образом, действительные корни существуют только при $a \le 4$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения. По теореме Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-4) = 4$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = a$.

Сумма квадратов корней $x_1^2 + x_2^2$ может быть выражена через их сумму и произведение:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.

Подставим значения, полученные из теоремы Виета:

$x_1^2 + x_2^2 = 4^2 - 2a = 16 - 2a$.

Теперь рассмотрим каждый из заданных случаев.

1) Сумма квадратов корней равна 12.

Составим и решим уравнение:

$16 - 2a = 12$

$2a = 16 - 12$

$2a = 4$

$a = 2$

Проверим, удовлетворяет ли найденное значение условию $a \le 4$. Так как $2 \le 4$, условие выполняется.

Ответ: $a=2$.

2) Сумма квадратов корней равна 6.

Составим и решим уравнение:

$16 - 2a = 6$

$2a = 16 - 6$

$2a = 10$

$a = 5$

Проверим, удовлетворяет ли найденное значение условию $a \le 4$. Так как $5 > 4$, условие не выполняется. Это означает, что при $a=5$ у уравнения нет действительных корней.

Ответ: таких значений $a$ не существует.