Номер 21.34, страница 180 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 21. Теорема Виета - номер 21.34, страница 180.

Условие.

21.34. При каких значениях параметра $a$ сумма корней уравнения $x^2 + (a^2 + 2a - 3)x + a = 0$ равна нулю?

Решение.

Данное уравнение является квадратным уравнением вида $Ax^2+Bx+C=0$, где коэффициенты зависят от параметра $a$:

$A = 1$

$B = a^2 + 2a - 3$

$C = a$

Для того чтобы у уравнения были действительные корни, его дискриминант $D$ должен быть неотрицательным ($D \ge 0$).

Согласно теореме Виета, сумма корней $x_1$ и $x_2$ квадратного уравнения равна $x_1 + x_2 = -\frac{B}{A}$.

Применим эту теорему к данному уравнению:

$x_1 + x_2 = -\frac{a^2 + 2a - 3}{1} = -(a^2 + 2a - 3)$

По условию задачи, сумма корней равна нулю, то есть $x_1 + x_2 = 0$. Составим уравнение:

$-(a^2 + 2a - 3) = 0$

$a^2 + 2a - 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $a$. Его можно разложить на множители:

$(a - 1)(a + 3) = 0$

Отсюда получаем два потенциальных значения для параметра $a$: $a_1 = 1$ и $a_2 = -3$.

Теперь необходимо проверить, при каких из этих значений исходное уравнение имеет действительные корни. Для этого проверим знак дискриминанта $D = B^2 - 4AC = (a^2 + 2a - 3)^2 - 4a$ для каждого найденного значения $a$.

1. Проверим $a = 1$:

$D = (1^2 + 2 \cdot 1 - 3)^2 - 4 \cdot 1 = (1 + 2 - 3)^2 - 4 = 0^2 - 4 = -4$

Поскольку $D = -4 < 0$, при $a=1$ уравнение не имеет действительных корней. Значит, это значение параметра не является решением задачи.

2. Проверим $a = -3$:

$D = ((-3)^2 + 2 \cdot (-3) - 3)^2 - 4 \cdot (-3) = (9 - 6 - 3)^2 + 12 = 0^2 + 12 = 12$

Поскольку $D = 12 > 0$, при $a=-3$ уравнение имеет два различных действительных корня, и их сумма, как мы установили ранее, равна нулю. Следовательно, это значение параметра является решением.

Таким образом, единственное значение параметра $a$, удовлетворяющее условию задачи, это -3.

Ответ: -3