Номер 21.31, страница 180 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 21. Теорема Виета - номер 21.31, страница 180.

Условие.

21.31. Найдите все значения параметра $b$, при которых имеет целые корни уравнение:

1) $x^2 + bx + 6 = 0$;

2) $x^2 + bx - 12 = 0$.

Решение.

1) $x^2 + bx + 6 = 0$

Для того чтобы данное квадратное уравнение имело целые корни, необходимо воспользоваться теоремой Виета. Пусть $x_1$ и $x_2$ — целые корни уравнения. Согласно теореме Виета для приведенного квадратного уравнения:
$x_1 + x_2 = -b$
$x_1 \cdot x_2 = 6$

Из второго соотношения следует, что целые корни $x_1$ и $x_2$ являются делителями числа 6. Перечислим все целые делители числа 6: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.

Теперь рассмотрим все возможные пары целых чисел, произведение которых равно 6, и для каждой пары найдем соответствующее значение параметра $b$ из соотношения $b = -(x_1 + x_2)$.
1. Если корни равны $1$ и $6$, то $b = -(1 + 6) = -7$.
2. Если корни равны $-1$ и $-6$, то $b = -(-1 + (-6)) = 7$.
3. Если корни равны $2$ и $3$, то $b = -(2 + 3) = -5$.
4. Если корни равны $-2$ и $-3$, то $b = -(-2 + (-3)) = 5$.

Таким образом, все возможные значения параметра $b$, при которых уравнение имеет целые корни, это $-7, 7, -5, 5$.

Ответ: $b \in \{-7, -5, 5, 7\}$.

2) $x^2 + bx - 12 = 0$

Аналогично первому случаю, воспользуемся теоремой Виета. Пусть $x_1$ и $x_2$ — целые корни уравнения. Тогда:
$x_1 + x_2 = -b$
$x_1 \cdot x_2 = -12$

Так как корни $x_1$ и $x_2$ являются целыми числами, они должны быть делителями числа -12. Все целые делители числа -12: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm4, \pm6, \pm12$.

Рассмотрим все возможные пары целых чисел, произведение которых равно -12, и для каждой пары вычислим значение $b = -(x_1 + x_2)$.
1. Если корни равны $1$ и $-12$, то $b = -(1 + (-12)) = 11$.
2. Если корни равны $-1$ и $12$, то $b = -(-1 + 12) = -11$.
3. Если корни равны $2$ и $-6$, то $b = -(2 + (-6)) = 4$.
4. Если корни равны $-2$ и $6$, то $b = -(-2 + 6) = -4$.
5. Если корни равны $3$ и $-4$, то $b = -(3 + (-4)) = 1$.
6. Если корни равны $-3$ и $4$, то $b = -(-3 + 4) = -1$.

Следовательно, все возможные значения параметра $b$, при которых уравнение имеет целые корни, это $11, -11, 4, -4, 1, -1$.

Ответ: $b \in \{-11, -4, -1, 1, 4, 11\}$.