Номер 21.29, страница 180 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 21. Теорема Виета - номер 21.29, страница 180.

Условие.

21.29. При каких значениях параметра $a$ корни $x_1$ и $x_2$ уравнения $x^2 - ax + 8 = 0$ удовлетворяют условию $\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{5}{2}$.

Решение.

Для того чтобы квадратное уравнение $x^2 - ax + 8 = 0$ имело два действительных корня $x_1$ и $x_2$, его дискриминант $D$ должен быть неотрицательным.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = a^2 - 32$.

Условие существования корней: $D \ge 0$, то есть $a^2 - 32 \ge 0$.

Решая это неравенство, получаем $a^2 \ge 32$, что означает $a \le -\sqrt{32}$ или $a \ge \sqrt{32}$. Так как $\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$, то $a \in (-\infty; -4\sqrt{2}] \cup [4\sqrt{2}; \infty)$.

Согласно теореме Виета для уравнения $x^2 - ax + 8 = 0$ имеем:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = a$
• Произведение корней: $x_1 x_2 = 8$

Рассмотрим заданное условие: $\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{5}{2}$.

Для выполнения этого условия необходимо, чтобы корни не были равны нулю. Так как их произведение $x_1 x_2 = 8 \neq 0$, это условие выполняется.

Преобразуем левую часть уравнения, приведя дроби к общему знаменателю:

$\frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1 x_2} = \frac{5}{2}$

Выразим сумму квадратов корней $x_1^2 + x_2^2$ через их сумму и произведение:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2$.

Подставим в это выражение значения из теоремы Виета:

$x_1^2 + x_2^2 = a^2 - 2 \cdot 8 = a^2 - 16$.

Теперь подставим полученные выражения в преобразованное условие:

$\frac{a^2 - 16}{8} = \frac{5}{2}$

Решим полученное уравнение относительно параметра $a$:

$2(a^2 - 16) = 5 \cdot 8$

$2a^2 - 32 = 40$

$2a^2 = 72$

$a^2 = 36$

Из этого уравнения находим два возможных значения для $a$: $a_1 = 6$ и $a_2 = -6$.

Осталось проверить, удовлетворяют ли эти значения условию существования действительных корней, то есть $a^2 \ge 32$.

• Для $a = 6$: $a^2 = 36$. Поскольку $36 \ge 32$, это значение подходит.
• Для $a = -6$: $a^2 = 36$. Поскольку $36 \ge 32$, это значение также подходит.

Оба найденных значения параметра $a$ удовлетворяют всем условиям задачи.

Ответ: $a = -6, a = 6$.