Номер 21.24, страница 180 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 21. Теорема Виета - номер 21.24, страница 180.

Условие.

21.24. Составьте квадратное уравнение, корни которого на 2 меньше соответствующих корней уравнения $x^2 + 8x - 3 = 0$.

Решение.

Для составления нового квадратного уравнения воспользуемся теоремой Виета. Сначала найдем сумму и произведение корней исходного уравнения.

Дано уравнение $x^2 + 8x - 3 = 0$. Пусть его корни — $x_1$ и $x_2$.

По теореме Виета:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -8$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -3$

Пусть корни нового уравнения — $y_1$ и $y_2$. По условию, они на 2 меньше корней исходного уравнения:

$y_1 = x_1 - 2$

$y_2 = x_2 - 2$

Теперь найдем сумму и произведение новых корней, чтобы составить новое уравнение.

Сумма новых корней:

$y_1 + y_2 = (x_1 - 2) + (x_2 - 2) = (x_1 + x_2) - 4$

Подставим известное значение $x_1 + x_2 = -8$:

$y_1 + y_2 = -8 - 4 = -12$

Произведение новых корней:

$y_1 \cdot y_2 = (x_1 - 2)(x_2 - 2) = x_1x_2 - 2x_1 - 2x_2 + 4 = x_1x_2 - 2(x_1 + x_2) + 4$

Подставим известные значения $x_1 \cdot x_2 = -3$ и $x_1 + x_2 = -8$:

$y_1 \cdot y_2 = -3 - 2(-8) + 4 = -3 + 16 + 4 = 17$

Зная сумму ($-12$) и произведение ($17$) корней нового уравнения, мы можем составить его по обратной теореме Виета. Уравнение вида $x^2 + px + q = 0$ имеет сумму корней $-p$ и произведение корней $q$.

Следовательно, $-p = -12$, откуда $p = 12$.

А $q = 17$.

Искомое уравнение имеет вид:

$x^2 + 12x + 17 = 0$

Альтернативный способ:
Пусть $y$ — корень нового уравнения. Тогда $y = x - 2$, где $x$ — корень исходного уравнения. Выразим $x$: $x = y + 2$. Подставим это выражение в исходное уравнение:

$(y+2)^2 + 8(y+2) - 3 = 0$

$y^2 + 4y + 4 + 8y + 16 - 3 = 0$

$y^2 + 12y + 17 = 0$

Заменив переменную $y$ на $x$, получаем тот же результат.

Ответ: $x^2 + 12x + 17 = 0$