Номер 21.28, страница 180 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 21. Теорема Виета - номер 21.28, страница 180.

Условие.

21.28. При каких значениях параметра $a$ сумма квадратов корней уравнения $3x^2 + ax - 7 = 0$ равна $\frac{46}{9}$.

Решение.

Дано квадратное уравнение $3x^2 + ax - 7 = 0$. Обозначим его корни как $x_1$ и $x_2$.

Согласно условию задачи, сумма квадратов корней равна $\frac{46}{9}$:
$x_1^2 + x_2^2 = \frac{46}{9}$

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного уравнения:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{a}{3}$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{-7}{3} = -\frac{7}{3}$

Сумму квадратов корней можно выразить через сумму и произведение корней с помощью следующего тождества:
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

Теперь подставим выражения из теоремы Виета и данное в условии значение в это тождество:
$\left(-\frac{a}{3}\right)^2 - 2\left(-\frac{7}{3}\right) = \frac{46}{9}$

Решим полученное уравнение относительно параметра $a$:
$\frac{a^2}{9} + \frac{14}{3} = \frac{46}{9}$

Чтобы избавиться от дробей, умножим все члены уравнения на 9:
$9 \cdot \frac{a^2}{9} + 9 \cdot \frac{14}{3} = 9 \cdot \frac{46}{9}$
$a^2 + 3 \cdot 14 = 46$
$a^2 + 42 = 46$

$a^2 = 46 - 42$
$a^2 = 4$
$a = \pm\sqrt{4}$
Отсюда получаем два возможных значения для $a$: $a_1 = 2$ и $a_2 = -2$.

Необходимо также убедиться, что при найденных значениях $a$ исходное уравнение имеет действительные корни. Для этого найдем дискриминант $D$:
$D = a^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7) = a^2 + 84$.
Поскольку $a^2 \ge 0$ для любого действительного $a$, то $D = a^2 + 84$ всегда будет больше нуля. Это означает, что уравнение имеет два различных действительных корня при любом значении параметра $a$.

Следовательно, оба найденных значения $a$ являются решением задачи.

Ответ: $a = -2$ или $a = 2$.