Номер 21.25, страница 180 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 21. Теорема Виета - номер 21.25, страница 180.

Условие.

21.25. Составьте квадратное уравнение, корни которого на 3 больше соответствующих корней уравнения $x^2 - 12x + 4 = 0$.

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Виета.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни исходного уравнения $x^2 - 12x + 4 = 0$. По теореме Виета для приведенного квадратного уравнения:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-12) = 12$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 4$

Пусть $y_1$ и $y_2$ — корни искомого квадратного уравнения. По условию, они на 3 больше соответствующих корней исходного уравнения. Значит:
$y_1 = x_1 + 3$
$y_2 = x_2 + 3$

Теперь найдем сумму и произведение корней нового уравнения.

1. Сумма новых корней:
$y_1 + y_2 = (x_1 + 3) + (x_2 + 3) = (x_1 + x_2) + 6$
Подставляем известное значение $x_1 + x_2 = 12$:
$y_1 + y_2 = 12 + 6 = 18$

2. Произведение новых корней:
$y_1 \cdot y_2 = (x_1 + 3)(x_2 + 3) = x_1x_2 + 3x_1 + 3x_2 + 9 = x_1x_2 + 3(x_1 + x_2) + 9$
Подставляем известные значения $x_1x_2 = 4$ и $x_1 + x_2 = 12$:
$y_1 \cdot y_2 = 4 + 3 \cdot 12 + 9 = 4 + 36 + 9 = 49$

Используя обратную теорему Виета, составим новое квадратное уравнение. Если $y_1$ и $y_2$ — его корни, то уравнение имеет вид $x^2 - (y_1 + y_2)x + y_1y_2 = 0$.
Подставим найденные значения суммы и произведения:
$x^2 - 18x + 49 = 0$

Ответ: $x^2 - 18x + 49 = 0$