Номер 21.27, страница 180 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 21. Теорема Виета - номер 21.27, страница 180.

Условие.

21.27. Составьте квадратное уравнение, корни которого в 2 раза больше соответствующих корней уравнения $2x^2 - 15x + 4 = 0$.

Решение.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни исходного квадратного уравнения $2x^2 - 15x + 4 = 0$.

Для составления нового квадратного уравнения, корни которого будут в 2 раза больше корней данного, воспользуемся теоремой Виета.

Сначала найдем сумму и произведение корней исходного уравнения. Согласно теореме Виета для уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-15}{2} = \frac{15}{2}$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{4}{2} = 2$.

Пусть $y_1$ и $y_2$ — корни искомого уравнения. По условию задачи, они в 2 раза больше соответствующих корней исходного уравнения:

$y_1 = 2x_1$

$y_2 = 2x_2$

Теперь найдем сумму и произведение новых корней, выразив их через сумму и произведение старых корней:

Сумма новых корней: $y_1 + y_2 = 2x_1 + 2x_2 = 2(x_1 + x_2) = 2 \cdot \frac{15}{2} = 15$.

Произведение новых корней: $y_1 \cdot y_2 = (2x_1) \cdot (2x_2) = 4(x_1 \cdot x_2) = 4 \cdot 2 = 8$.

Используя обратную теорему Виета, мы можем составить приведенное квадратное уравнение вида $z^2 + pz + q = 0$, где $p = -(y_1 + y_2)$ и $q = y_1 \cdot y_2$.

Подставим найденные значения суммы и произведения новых корней:

$p = -15$

$q = 8$

Таким образом, искомое квадратное уравнение (используя переменную $x$) имеет вид:

$x^2 - 15x + 8 = 0$.

Ответ: $x^2 - 15x + 8 = 0$.