Номер 21.36, страница 180 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 21. Теорема Виета - номер 21.36, страница 180.

Условие.

21.36. При каких значениях параметра $a$ разность корней уравнения $2x^2-(a+1)x+a-1=0$ равна их произведению?

Решение.

Дано квадратное уравнение $2x^2 - (a + 1)x + a - 1 = 0$. Для того чтобы уравнение имело действительные корни, его дискриминант $D$ должен быть неотрицательным. $D = (-(a+1))^2 - 4 \cdot 2 \cdot (a-1) = (a+1)^2 - 8(a-1) = a^2 + 2a + 1 - 8a + 8 = a^2 - 6a + 9 = (a-3)^2$. Условие $D \ge 0$ выполняется при любом действительном значении $a$, так как $(a-3)^2$ всегда неотрицательно.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни данного уравнения. Согласно теореме Виета:
сумма корней: $x_1 + x_2 = - \frac{-(a+1)}{2} = \frac{a+1}{2}$;
произведение корней: $x_1 x_2 = \frac{a-1}{2}$.

По условию задачи, разность корней равна их произведению. Разность корней — это величина $|x_1 - x_2|$. Таким образом, получаем равенство: $|x_1 - x_2| = x_1 x_2$.

Так как левая часть уравнения, $|x_1 - x_2|$, всегда неотрицательна, то и правая часть должна быть неотрицательной: $x_1 x_2 \ge 0$, откуда следует $\frac{a-1}{2} \ge 0$, то есть $a \ge 1$.

Возведем обе части равенства $|x_1 - x_2| = x_1 x_2$ в квадрат: $(x_1 - x_2)^2 = (x_1 x_2)^2$. Используем тождество $(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2$, чтобы выразить левую часть через сумму и произведение корней: $(x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2 = (x_1 x_2)^2$.

Подставим выражения для суммы и произведения корней, полученные по теореме Виета: $(\frac{a+1}{2})^2 - 4 \cdot (\frac{a-1}{2}) = (\frac{a-1}{2})^2$.
Решим полученное уравнение относительно $a$: $\frac{(a+1)^2}{4} - 2(a-1) = \frac{(a-1)^2}{4}$.
Умножим обе части уравнения на 4: $(a+1)^2 - 8(a-1) = (a-1)^2$.
Раскроем скобки: $a^2 + 2a + 1 - 8a + 8 = a^2 - 2a + 1$.
Приведем подобные члены: $a^2 - 6a + 9 = a^2 - 2a + 1$.
$-6a + 9 = -2a + 1$.
$4a = 8$.
$a = 2$.

Проверим, удовлетворяет ли найденное значение $a=2$ ранее установленному ограничению $a \ge 1$. Условие $2 \ge 1$ выполняется. Следовательно, значение $a=2$ является решением задачи.
Ответ: $a=2$.