Номер 22.4, страница 186 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 22. Квадратный трехчлен - номер 22.4, страница 186.

Условие.

22.4. Сократите дробь:

1) $\frac{2y^2 + 3y - 5}{y^2 - 2y + 1}$;

2) $\frac{a^2 + 5a + 4}{a^2 - a - 20}$;

3) $\frac{3 + 20b - 7b^2}{7b^2 - 6b - 1}$.

Решение.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{2y^2 + 3y - 5}{y^2 - 2y + 1}$, разложим на множители числитель и знаменатель.

Знаменатель $y^2 - 2y + 1$ является полным квадратом разности, который можно свернуть по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$y^2 - 2y + 1 = (y - 1)^2$.

Для разложения числителя $2y^2 + 3y - 5$ найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2y^2 + 3y - 5 = 0$ по формуле $y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$.
Дискриминант: $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49$.
Корни уравнения:
$y_1 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 7}{4} = \frac{4}{4} = 1$;
$y_2 = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 7}{4} = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2}$.
Теперь разложим квадратный трехчлен на множители по формуле $a(x - x_1)(x - x_2)$:
$2y^2 + 3y - 5 = 2(y - 1)(y - (-\frac{5}{2})) = 2(y - 1)(y + \frac{5}{2}) = (y - 1)(2y + 5)$.

Подставим полученные разложения в исходную дробь и сократим общий множитель $(y - 1)$:
$\frac{2y^2 + 3y - 5}{y^2 - 2y + 1} = \frac{(y - 1)(2y + 5)}{(y - 1)^2} = \frac{2y + 5}{y - 1}$.

Ответ: $\frac{2y + 5}{y - 1}$.

---

2) Чтобы сократить дробь $\frac{a^2 + 5a + 4}{a^2 - a - 20}$, разложим на множители числитель и знаменатель.

Разложим числитель $a^2 + 5a + 4$. Для этого найдем корни уравнения $a^2 + 5a + 4 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $-5$, а их произведение равно $4$. Корнями являются числа $-1$ и $-4$.
Следовательно, $a^2 + 5a + 4 = (a - (-1))(a - (-4)) = (a + 1)(a + 4)$.

Разложим знаменатель $a^2 - a - 20$. Для этого найдем корни уравнения $a^2 - a - 20 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $1$, а их произведение равно $-20$. Корнями являются числа $5$ и $-4$.
Следовательно, $a^2 - a - 20 = (a - 5)(a - (-4)) = (a - 5)(a + 4)$.

Подставим разложения в дробь и выполним сокращение на общий множитель $(a + 4)$:
$\frac{a^2 + 5a + 4}{a^2 - a - 20} = \frac{(a + 1)(a + 4)}{(a - 5)(a + 4)} = \frac{a + 1}{a - 5}$.

Ответ: $\frac{a + 1}{a - 5}$.

---

3) Чтобы сократить дробь $\frac{3 + 20b - 7b^2}{7b^2 - 6b - 1}$, разложим на множители числитель и знаменатель.

Разложим числитель $3 + 20b - 7b^2$. Перепишем его в стандартном виде: $-7b^2 + 20b + 3$. Вынесем $-1$ за скобки: $-(7b^2 - 20b - 3)$.
Найдем корни уравнения $7b^2 - 20b - 3 = 0$.
Дискриминант: $D = (-20)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-3) = 400 + 84 = 484 = 22^2$.
Корни уравнения:
$b_1 = \frac{20 + 22}{2 \cdot 7} = \frac{42}{14} = 3$;
$b_2 = \frac{20 - 22}{2 \cdot 7} = \frac{-2}{14} = -\frac{1}{7}$.
Разложение: $7b^2 - 20b - 3 = 7(b - 3)(b - (-\frac{1}{7})) = 7(b - 3)(b + \frac{1}{7}) = (b - 3)(7b + 1)$.
Тогда числитель равен $-(b - 3)(7b + 1) = (3 - b)(7b + 1)$.

Разложим знаменатель $7b^2 - 6b - 1$. Найдем корни уравнения $7b^2 - 6b - 1 = 0$.
Дискриминант: $D = (-6)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-1) = 36 + 28 = 64 = 8^2$.
Корни уравнения:
$b_1 = \frac{6 + 8}{2 \cdot 7} = \frac{14}{14} = 1$;
$b_2 = \frac{6 - 8}{2 \cdot 7} = \frac{-2}{14} = -\frac{1}{7}$.
Разложение: $7b^2 - 6b - 1 = 7(b - 1)(b - (-\frac{1}{7})) = 7(b - 1)(b + \frac{1}{7}) = (b - 1)(7b + 1)$.

Подставим разложения в дробь и сократим общий множитель $(7b + 1)$:
$\frac{3 + 20b - 7b^2}{7b^2 - 6b - 1} = \frac{(3 - b)(7b + 1)}{(b - 1)(7b + 1)} = \frac{3 - b}{b - 1}$.

Ответ: $\frac{3 - b}{b - 1}$.