Номер 20.41, страница 174 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения - номер 20.41, страница 174.

Условие.

20.41. Упростите выражение

$(\frac{x}{y} - \frac{y}{x})(\frac{x}{y} + \frac{y}{x} - 2)^{-1}\left( \left(1+\frac{y}{x}\right)\frac{x}{x-y}\right)^{-2}$

Решение.

Для упрощения выражения преобразуем последовательно каждый множитель, а затем выполним их умножение.

Сначала преобразуем первый множитель, приведя дроби к общему знаменателю $xy$ и применив формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:

$ (\frac{x}{y} - \frac{y}{x}) = \frac{x^2 - y^2}{xy} = \frac{(x-y)(x+y)}{xy} $

Далее преобразуем второй множитель. Упростим выражение в скобках, приведя его к общему знаменателю и применив формулу квадрата разности $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$:

$ \frac{x}{y} + \frac{y}{x} - 2 = \frac{x^2 + y^2 - 2xy}{xy} = \frac{(x-y)^2}{xy} $

Теперь возведем полученное выражение в степень -1 (т.е. найдем обратную дробь):

$ (\frac{(x-y)^2}{xy})^{-1} = \frac{xy}{(x-y)^2} $

Теперь преобразуем третий множитель. Сначала выполним действия в самых внутренних скобках и последующее умножение:

$ (1 + \frac{y}{x})\frac{x}{x-y} = (\frac{x+y}{x}) \cdot \frac{x}{x-y} = \frac{(x+y)x}{x(x-y)} = \frac{x+y}{x-y} $

Затем возведем результат в степень -2:

$ (\frac{x+y}{x-y})^{-2} = (\frac{x-y}{x+y})^{2} = \frac{(x-y)^2}{(x+y)^2} $

Наконец, перемножим все три упрощенных выражения:

$ \frac{(x-y)(x+y)}{xy} \cdot \frac{xy}{(x-y)^2} \cdot \frac{(x-y)^2}{(x+y)^2} $

Запишем все под одной дробной чертой и сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе:

$ \frac{(x-y)(x+y) \cdot xy \cdot (x-y)^2}{xy \cdot (x-y)^2 \cdot (x+y)^2} = \frac{x-y}{x+y} $

Ответ: $ \frac{x-y}{x+y} $