Номер 20.35, страница 173 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения - номер 20.35, страница 173.

Условие.

20.35. Для каждого значения параметра $a$ решите уравнение:

1) $x^2 - (2a - 5)x - 3a^2 + 5a = 0;$

2) $ax^2 - (a + 1)x + 1 = 0.$

Решение.

1)

Дано уравнение $x^2 - (2a - 5)x - 3a^2 + 5a = 0$.

Это квадратное уравнение относительно $x$. Для его решения найдем дискриминант $D$.

$D = b^2 - 4ac = (-(2a - 5))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3a^2 + 5a)$

$D = (2a - 5)^2 + 12a^2 - 20a = (4a^2 - 20a + 25) + 12a^2 - 20a = 16a^2 - 40a + 25$.

Заметим, что полученное выражение является полным квадратом:

$D = (4a)^2 - 2 \cdot (4a) \cdot 5 + 5^2 = (4a - 5)^2$.

Так как $D = (4a - 5)^2 \ge 0$ для любого значения $a$, уравнение всегда имеет действительные корни. Найдем их по формуле корней квадратного уравнения:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{(2a - 5) \pm \sqrt{(4a - 5)^2}}{2 \cdot 1} = \frac{2a - 5 \pm (4a - 5)}{2}$.

Отсюда получаем два корня:

$x_1 = \frac{2a - 5 + (4a - 5)}{2} = \frac{6a - 10}{2} = 3a - 5$.

$x_2 = \frac{2a - 5 - (4a - 5)}{2} = \frac{2a - 5 - 4a + 5}{2} = \frac{-2a}{2} = -a$.

Корни существуют при всех значениях параметра $a$.

Ответ: при любом $a$ корни уравнения: $x_1 = 3a - 5$, $x_2 = -a$.

2)

Дано уравнение $ax^2 - (a + 1)x + 1 = 0$.

Решение этого уравнения зависит от значения параметра $a$.

Случай 1: $a = 0$.

Если $a = 0$, уравнение перестает быть квадратным и становится линейным:

$0 \cdot x^2 - (0 + 1)x + 1 = 0$,

$-x + 1 = 0$.

Отсюда $x = 1$.

Случай 2: $a \neq 0$.

В этом случае уравнение является квадратным. Его можно решить, разложив левую часть на множители. Сгруппируем слагаемые:

$ax^2 - ax - x + 1 = 0$,

$ax(x-1) - 1(x-1) = 0$,

$(ax-1)(x-1) = 0$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$x - 1 = 0$ или $ax - 1 = 0$.

Из первого уравнения получаем корень $x_1 = 1$.

Из второго уравнения, учитывая что $a \neq 0$, получаем второй корень $x_2 = \frac{1}{a}$.

Следует отметить, что при $a=1$ корни совпадают: $x_1=x_2=1$.

Объединяем результаты для всех случаев.

Ответ: если $a = 0$, то $x = 1$; если $a \neq 0$, то $x_1 = 1$, $x_2 = \frac{1}{a}$.