Номер 20.31, страница 173 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения - номер 20.31, страница 173.

Условие.

20.31. При каких значениях параметра a имеет два корня уравнение:

1) $x^2 + 3x + a = 0;$

2) $x^2 + 2ax + a^2 - 3a + 1 = 0?$

Решение.

Квадратное уравнение вида $Ax^2 + Bx + C = 0$ имеет два различных действительных корня тогда и только тогда, когда его дискриминант $D$ строго больше нуля ($D > 0$). Дискриминант вычисляется по формуле $D = B^2 - 4AC$.

1) $x^2 + 3x + a = 0$

Это квадратное уравнение относительно переменной $x$. Определим его коэффициенты:
$A = 1$, $B = 3$, $C = a$.
Найдем дискриминант уравнения:
$D = B^2 - 4AC = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot a = 9 - 4a$.
Для того чтобы уравнение имело два корня, должно выполняться условие $D > 0$:
$9 - 4a > 0$
$9 > 4a$
$a < \frac{9}{4}$
$a < 2.25$
Ответ: $a < \frac{9}{4}$.

2) $x^2 + 2ax + a^2 - 3a + 1 = 0$

Это также квадратное уравнение относительно $x$. Его коэффициенты зависят от параметра $a$:
$A = 1$, $B = 2a$, $C = a^2 - 3a + 1$.
Поскольку коэффициент $B$ является четным числом ($B = 2a$), для удобства вычислений можно использовать формулу для четверти дискриминанта $D/4 = (B/2)^2 - AC$. Условие $D > 0$ эквивалентно условию $D/4 > 0$.
Найдем $D/4$:
$D/4 = (\frac{2a}{2})^2 - 1 \cdot (a^2 - 3a + 1) = a^2 - (a^2 - 3a + 1) = a^2 - a^2 + 3a - 1 = 3a - 1$.
Применим условие $D/4 > 0$:
$3a - 1 > 0$
$3a > 1$
$a > \frac{1}{3}$
Ответ: $a > \frac{1}{3}$.