Номер 20.25, страница 172 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения - номер 20.25, страница 172.

Условие.

20.25. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x^2 + 2x - 3} + \sqrt{8x^2 - 7x - 1} = 0;$

2) $x^2 + 6x + 9 + |x^2 + x - 6| = 0;$

3) $\sqrt{36 - x^2} + |x^2 + 5x - 6| = 0.$

Решение.

1) $\sqrt{x^2 + 2x - 3} + \sqrt{8x^2 - 7x - 1} = 0$

Поскольку значения квадратных корней всегда неотрицательны ($\sqrt{a} \ge 0$), сумма двух корней равна нулю только в том случае, если оба подкоренных выражения одновременно равны нулю. Следовательно, уравнение равносильно системе уравнений:

$\begin{cases} x^2 + 2x - 3 = 0 \\ 8x^2 - 7x - 1 = 0 \end{cases}$

Решаем первое уравнение: $x^2 + 2x - 3 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна $-2$, а их произведение равно $-3$. Корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$.

Решаем второе уравнение: $8x^2 - 7x - 1 = 0$.
Находим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-1) = 49 + 32 = 81 = 9^2$.
Находим корни: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm 9}{16}$.
$x_3 = \frac{7 + 9}{16} = 1$ и $x_4 = \frac{7 - 9}{16} = -\frac{2}{16} = -\frac{1}{8}$.

Единственным общим корнем для обоих уравнений является $x=1$. Это и есть решение исходного уравнения.

Ответ: $1$.

2) $x^2 + 6x + 9 + |x^2 + x - 6| = 0$

Заметим, что выражение $x^2 + 6x + 9$ является полным квадратом: $(x+3)^2$. Уравнение принимает вид:

$(x+3)^2 + |x^2 + x - 6| = 0$

Слагаемое $(x+3)^2$ всегда неотрицательно (как квадрат любого действительного числа), и слагаемое $|x^2 + x - 6|$ (модуль числа) также всегда неотрицательно. Сумма двух неотрицательных выражений равна нулю тогда и только тогда, когда оба выражения одновременно равны нулю. Получаем систему:

$\begin{cases} (x+3)^2 = 0 \\ x^2 + x - 6 = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения следует, что $x+3 = 0$, то есть $x = -3$.

Проверим, является ли $x=-3$ корнем второго уравнения, подставив его в $x^2 + x - 6 = 0$.
$(-3)^2 + (-3) - 6 = 9 - 3 - 6 = 0$.
Равенство верное, значит $x=-3$ является решением системы и, следовательно, исходного уравнения.

Ответ: $-3$.

3) $\sqrt{36 - x^2} + |x^2 + 5x - 6| = 0$

Данное уравнение представляет собой сумму двух неотрицательных слагаемых: квадратного корня $\sqrt{36 - x^2}$ и модуля $|x^2 + 5x - 6|$. Такая сумма равна нулю только в том случае, если каждое слагаемое равно нулю. Это приводит к системе уравнений:

$\begin{cases} 36 - x^2 = 0 \\ x^2 + 5x - 6 = 0 \end{cases}$

Решаем первое уравнение: $36 - x^2 = 0$.
$x^2 = 36$, откуда $x_1 = 6$ и $x_2 = -6$.

Решаем второе уравнение: $x^2 + 5x - 6 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна $-5$, а их произведение равно $-6$. Корнями являются $x_3 = 1$ и $x_4 = -6$.

Сравнивая корни обоих уравнений, находим общий корень $x = -6$. Это и будет решением исходного уравнения.

Ответ: $-6$.