Номер 20.38, страница 173 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения - номер 20.38, страница 173.

Условие.

20.38. При каких значениях параметра $a$ уравнение $ax^2 + 4x + 3 = 0$ имеет два корня?

Решение.

Данное уравнение $ax^2 + 4x + 3 = 0$ в зависимости от значения параметра $a$ может быть как квадратным, так и линейным.

Рассмотрим два возможных случая.

1. Пусть $a = 0$.

В этом случае уравнение становится линейным:

$0 \cdot x^2 + 4x + 3 = 0$

$4x + 3 = 0$

$4x = -3$

$x = -\frac{3}{4}$

При $a = 0$ уравнение имеет только один корень, что не удовлетворяет условию задачи.

2. Пусть $a \ne 0$.

В этом случае уравнение является квадратным. Квадратное уравнение имеет два различных действительных корня тогда и только тогда, когда его дискриминант $D$ строго больше нуля ($D > 0$).

Найдем дискриминант уравнения $ax^2 + 4x + 3 = 0$. Коэффициенты здесь равны: $a$, $b=4$, $c=3$.

$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot a \cdot 3 = 16 - 12a$

Теперь решим неравенство $D > 0$, чтобы найти значения $a$, при которых уравнение будет иметь два корня:

$16 - 12a > 0$

Перенесем $12a$ в правую часть:

$16 > 12a$

Разделим обе части на 12:

$a < \frac{16}{12}$

Сократим дробь:

$a < \frac{4}{3}$

Таким образом, для наличия двух корней должны выполняться два условия одновременно: $a \ne 0$ (чтобы уравнение было квадратным) и $a < \frac{4}{3}$ (чтобы дискриминант был положительным).

Объединяя эти два условия, получаем итоговый интервал для параметра $a$: $a$ должно быть меньше $\frac{4}{3}$, но не равно нулю.

Это можно записать в виде объединения двух интервалов: $(-\infty; 0) \cup (0; \frac{4}{3})$.

Ответ: $a \in (-\infty; 0) \cup (0; \frac{4}{3})$.