Номер 20.15, страница 171 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения - номер 20.15, страница 171.

Условие.

20.15. Найдите четыре последовательных чётных натуральных числа, если сумма первого и третьего чисел в 5 раз меньше произведения второго и четвёртого чисел.

Решение.

Обозначим четыре последовательных чётных натуральных числа. Пусть наименьшее из них равно $2n$, где $n$ — натуральное число. Тогда следующие три числа будут $2n + 2$, $2n + 4$ и $2n + 6$.

По условию задачи, сумма первого и третьего чисел в 5 раз меньше произведения второго и четвёртого. Запишем это в виде уравнения.

Сумма первого и третьего чисел: $2n + (2n + 4) = 4n + 4$.

Произведение второго и четвёртого чисел: $(2n + 2)(2n + 6)$.

Условие "сумма в 5 раз меньше произведения" означает, что произведение равно сумме, умноженной на 5. Составим уравнение: $5 \cdot (4n + 4) = (2n + 2)(2n + 6)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения: $20n + 20 = 4n^2 + 12n + 4n + 12$

Приведём подобные слагаемые: $20n + 20 = 4n^2 + 16n + 12$

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $4n^2 + 16n + 12 - 20n - 20 = 0$ $4n^2 - 4n - 8 = 0$

Для упрощения разделим всё уравнение на 4: $n^2 - n - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся формулой для нахождения корней: Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$. $n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2$ $n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{1 - 3}{2} = -1$

Поскольку мы ищем натуральные чётные числа, $n$ должно быть натуральным числом. Корень $n_2 = -1$ не является натуральным числом, поэтому он не подходит. Корень $n_1 = 2$ удовлетворяет этому условию.

Теперь найдём искомые числа, подставив значение $n=2$ в наши выражения:
Первое число: $2n = 2 \cdot 2 = 4$
Второе число: $2n + 2 = 4 + 2 = 6$
Третье число: $2n + 4 = 4 + 4 = 8$
Четвёртое число: $2n + 6 = 4 + 6 = 10$

Выполним проверку. Сумма первого и третьего чисел: $4 + 8 = 12$. Произведение второго и четвёртого: $6 \cdot 10 = 60$. Проверим отношение: $60 / 12 = 5$. Условие выполняется.

Ответ: 4, 6, 8, 10.