Номер 20.10, страница 171 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения - номер 20.10, страница 171.

Условие.

20.10. Произведение двух последовательных натуральных чисел на 89 больше их суммы. Найдите эти числа.

Решение.

Пусть первое натуральное число равно $n$, тогда второе, следующее за ним, натуральное число будет $n+1$.

Произведение этих чисел равно $n(n+1)$.

Сумма этих чисел равна $n + (n+1) = 2n+1$.

По условию задачи, произведение на 89 больше суммы. Составим уравнение:

$n(n+1) = (2n+1) + 89$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду:

$n^2 + n = 2n + 90$

$n^2 + n - 2n - 90 = 0$

$n^2 - n - 90 = 0$

Это квадратное уравнение. Решим его через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-90) = 1 + 360 = 361$

Найдем корни уравнения:

$n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{361}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 19}{2} = \frac{20}{2} = 10$

$n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{361}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 19}{2} = \frac{-18}{2} = -9$

По условию, числа должны быть натуральными, поэтому корень $n_2 = -9$ не является решением задачи.

Следовательно, первое число равно 10.

Второе число равно $n+1 = 10+1 = 11$.

Проверим: произведение чисел $10 \cdot 11 = 110$. Сумма чисел $10 + 11 = 21$. Разность $110 - 21 = 89$. Условие выполняется.

Ответ: 10 и 11.