Номер 20.6, страница 171 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения - номер 20.6, страница 171.

Условие.

20.6. Решите уравнение:

1) $x^2 - x(\sqrt{3} + 2) + 2\sqrt{3} = 0;$

2) $\frac{3x^2 + x}{4} - \frac{3x^2 + 17}{10} = \frac{2 - 7x}{5}$

Решение.

1)

Дано квадратное уравнение: $x^2 - x(\sqrt{3} + 2) + 2\sqrt{3} = 0$.
Это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=1$, $b = -(\sqrt{3} + 2)$ и $c = 2\sqrt{3}$.
Для нахождения корней воспользуемся формулой корней квадратного уравнения через дискриминант.
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-(\sqrt{3} + 2))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2\sqrt{3}) = (\sqrt{3} + 2)^2 - 8\sqrt{3}$
Раскроем квадрат суммы: $(\sqrt{3} + 2)^2 = (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 2 + 2^2 = 3 + 4\sqrt{3} + 4 = 7 + 4\sqrt{3}$.
Подставим это в выражение для дискриминанта:
$D = (7 + 4\sqrt{3}) - 8\sqrt{3} = 7 - 4\sqrt{3}$
Чтобы извлечь корень из дискриминанта, представим выражение $7 - 4\sqrt{3}$ в виде полного квадрата разности $(m - n)^2 = m^2 - 2mn + n^2$.
$7 - 4\sqrt{3} = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (2 - \sqrt{3})^2$.
Следовательно, $\sqrt{D} = \sqrt{(2 - \sqrt{3})^2} = |2 - \sqrt{3}|$. Так как $2 > \sqrt{3}$, то $2 - \sqrt{3} > 0$, и модуль можно опустить: $\sqrt{D} = 2 - \sqrt{3}$.
Теперь найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-(\sqrt{3} + 2)) + (2 - \sqrt{3})}{2 \cdot 1} = \frac{\sqrt{3} + 2 + 2 - \sqrt{3}}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
$x_2 = \frac{-(-(\sqrt{3} + 2)) - (2 - \sqrt{3})}{2 \cdot 1} = \frac{\sqrt{3} + 2 - 2 + \sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.
Таким образом, корнями уравнения являются $2$ и $\sqrt{3}$.

Ответ: $2; \sqrt{3}$.

2)

Дано уравнение: $\frac{3x^2 + x}{4} - \frac{3x^2 + 17}{10} = \frac{2 - 7x}{5}$.
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 4, 10 и 5, которое равно 20.
$20 \cdot \frac{3x^2 + x}{4} - 20 \cdot \frac{3x^2 + 17}{10} = 20 \cdot \frac{2 - 7x}{5}$
$5(3x^2 + x) - 2(3x^2 + 17) = 4(2 - 7x)$
Раскроем скобки:
$15x^2 + 5x - 6x^2 - 34 = 8 - 28x$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$9x^2 + 5x - 34 = 8 - 28x$
Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:
$9x^2 + 5x - 34 - 8 + 28x = 0$
$9x^2 + 33x - 42 = 0$
Разделим все уравнение на 3 для упрощения:
$3x^2 + 11x - 14 = 0$
Теперь решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$a = 3, b = 11, c = -14$
$D = 11^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-14) = 121 + 168 = 289$
$\sqrt{D} = \sqrt{289} = 17$
Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-11 + 17}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$
$x_2 = \frac{-11 - 17}{2 \cdot 3} = \frac{-28}{6} = -\frac{14}{3}$

Ответ: $1; -\frac{14}{3}$.