Номер 20.2, страница 170 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения - номер 20.2, страница 170.

Условие.

20.2. Решите уравнение:

1) $x^2 - 3x + 2 = 0;$

2) $x^2 + 12x - 13 = 0;$

3) $x^2 - x - 72 = 0;$

4) $2x^2 - 5x + 2 = 0;$

5) $2x^2 - 7x - 4 = 0;$

6) $-2x^2 + x + 15 = 0;$

7) $x^2 - 6x + 11 = 0;$

8) $-x^2 - 8x + 12 = 0.$

Решение.

1) $x^2 - 3x + 2 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=1$, $b=-3$, $c=2$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

$x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

Ответ: $1; 2$.

2) $x^2 + 12x - 13 = 0$

Это квадратное уравнение, где $a=1$, $b=12$, $c=-13$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-13) = 144 + 52 = 196$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. $\sqrt{196} = 14$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-12 + 14}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1$.

$x_2 = \frac{-12 - 14}{2 \cdot 1} = \frac{-26}{2} = -13$.

Ответ: $-13; 1$.

3) $x^2 - x - 72 = 0$

Это квадратное уравнение, где $a=1$, $b=-1$, $c=-72$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 1 + 288 = 289$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. $\sqrt{289} = 17$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-1) + 17}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 17}{2} = \frac{18}{2} = 9$.

$x_2 = \frac{-(-1) - 17}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 17}{2} = \frac{-16}{2} = -8$.

Ответ: $-8; 9$.

4) $2x^2 - 5x + 2 = 0$

Это квадратное уравнение, где $a=2$, $b=-5$, $c=2$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. $\sqrt{9} = 3$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-5) + 3}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

$x_2 = \frac{-(-5) - 3}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = 0,5$.

Ответ: $0,5; 2$.

5) $2x^2 - 7x - 4 = 0$

Это квадратное уравнение, где $a=2$, $b=-7$, $c=-4$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. $\sqrt{81} = 9$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-7) + 9}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 9}{4} = \frac{16}{4} = 4$.

$x_2 = \frac{-(-7) - 9}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 9}{4} = \frac{-2}{4} = -0,5$.

Ответ: $-0,5; 4$.

6) $-2x^2 + x + 15 = 0$

Умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным: $2x^2 - x - 15 = 0$.

Теперь $a=2$, $b=-1$, $c=-15$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 1 + 120 = 121$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. $\sqrt{121} = 11$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-1) + 11}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 11}{4} = \frac{12}{4} = 3$.

$x_2 = \frac{-(-1) - 11}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 11}{4} = \frac{-10}{4} = -2,5$.

Ответ: $-2,5; 3$.

7) $x^2 - 6x + 11 = 0$

Это квадратное уравнение, где $a=1$, $b=-6$, $c=11$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 36 - 44 = -8$.

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.

8) $-x^2 - 8x + 12 = 0$

Умножим обе части уравнения на $-1$: $x^2 + 8x - 12 = 0$.

Теперь $a=1$, $b=8$, $c=-12$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 64 + 48 = 112$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Упростим корень из дискриминанта: $\sqrt{112} = \sqrt{16 \cdot 7} = 4\sqrt{7}$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-8 \pm 4\sqrt{7}}{2 \cdot 1} = \frac{2(-4 \pm 2\sqrt{7})}{2} = -4 \pm 2\sqrt{7}$.

$x_1 = -4 + 2\sqrt{7}$.

$x_2 = -4 - 2\sqrt{7}$.

Ответ: $-4 - 2\sqrt{7}; -4 + 2\sqrt{7}$.