Номер 19.20, страница 164 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 19. Квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений - номер 19.20, страница 164.

Условие.

19.20. При каком значении параметра $a$ уравнение $(a - 2)x^2 + (2a - 1)x + a^2 - 4 = 0$ является:

1) линейным;

2) приведённым квадратным;

3) неполным неприведённым квадратным;

4) неполным приведённым квадратным?

Решение.

Дано уравнение $(a - 2)x^2 + (2a - 1)x + a^2 - 4 = 0$.

Это уравнение вида $Ax^2 + Bx + C = 0$, где коэффициенты равны:

• $A = a - 2$
• $B = 2a - 1$
• $C = a^2 - 4$

1) линейным;

Уравнение является линейным, если коэффициент при $x^2$ равен нулю, а коэффициент при $x$ не равен нулю.

Приравняем коэффициент при $x^2$ к нулю:
$a - 2 = 0$
$a = 2$

Проверим, не обращается ли в нуль коэффициент при $x$ при этом значении $a$:
$2a - 1 = 2 \cdot 2 - 1 = 4 - 1 = 3 \ne 0$.

Так как коэффициент при $x$ не равен нулю, при $a=2$ уравнение становится линейным ($3x = 0$).

Ответ: $a = 2$.

2) приведённым квадратным;

Квадратное уравнение является приведённым, если коэффициент при $x^2$ равен 1.

Приравняем коэффициент при $x^2$ к единице:
$a - 2 = 1$
$a = 3$

При этом значении $a$ уравнение становится $x^2 + 5x + 5 = 0$, что является приведённым квадратным уравнением.

Ответ: $a = 3$.

3) неполным неприведённым квадратным;

Уравнение является неполным неприведённым квадратным, если выполняются три условия:

1. Оно квадратное, то есть коэффициент при $x^2$ не равен нулю: $a - 2 \ne 0 \Rightarrow a \ne 2$.
2. Оно неприведённое, то есть коэффициент при $x^2$ не равен единице: $a - 2 \ne 1 \Rightarrow a \ne 3$.
3. Оно неполное, то есть либо коэффициент при $x$ равен нулю, либо свободный член равен нулю: $2a - 1 = 0$ или $a^2 - 4 = 0$.

Рассмотрим случаи, когда уравнение неполное:

Случай а) Коэффициент при $x$ равен нулю.
$2a - 1 = 0$
$a = 0.5$
Это значение удовлетворяет условиям $a \ne 2$ и $a \ne 3$.

Случай б) Свободный член равен нулю.
$a^2 - 4 = 0$
$(a - 2)(a + 2) = 0$
Отсюда $a = 2$ или $a = -2$.
Значение $a = 2$ не подходит, так как при нём уравнение становится линейным.
Значение $a = -2$ удовлетворяет условиям $a \ne 2$ и $a \ne 3$.

Объединяя подходящие значения из обоих случаев, получаем, что уравнение является неполным неприведённым квадратным при $a = 0.5$ и $a = -2$.

Ответ: $a = 0.5$; $a = -2$.

4) неполным приведённым квадратным?

Уравнение является неполным приведённым квадратным, если выполняются два условия:

1. Оно приведённое, то есть коэффициент при $x^2$ равен 1. Из пункта 2 мы знаем, что это достигается при $a = 3$.
2. Оно неполное, то есть при $a=3$ либо коэффициент при $x$, либо свободный член должны быть равны нулю.

Проверим коэффициенты при $a = 3$:

• Коэффициент при $x$: $2a - 1 = 2 \cdot 3 - 1 = 5$. Он не равен нулю.
• Свободный член: $a^2 - 4 = 3^2 - 4 = 9 - 4 = 5$. Он не равен нулю.

Поскольку при $a = 3$ (единственном значении, когда уравнение является приведённым) ни коэффициент при $x$, ни свободный член не равны нулю, то уравнение является полным приведённым квадратным. Следовательно, не существует таких значений $a$, при которых уравнение будет неполным приведённым квадратным.

Ответ: таких значений нет.