Номер 19.21, страница 164 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 19. Квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений - номер 19.21, страница 164.

Условие.

19.21. Определите, при каком значении параметра $a$ один из корней квадратного уравнения равен $0$, и найдите второй корень уравнения:

1) $4x^2 + (a - 8)x + a^2 + a = 0;$

2) $ax^2 + (a + 3)x + a^2 - 3a = 0.$

Решение.

1) Рассмотрим квадратное уравнение $4x^2 + (a - 8)x + a^2 + a = 0$.

Один из корней квадратного уравнения равен нулю тогда и только тогда, когда его свободный член равен нулю. В данном уравнении свободный член $C = a^2 + a$.

Приравняем свободный член к нулю, чтобы найти значения параметра $a$:

$a^2 + a = 0$

$a(a + 1) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для $a$: $a_1 = 0$ и $a_2 = -1$.

Для нахождения второго корня воспользуемся теоремой Виета. Для уравнения вида $Ax^2+Bx+C=0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливо равенство $x_1 + x_2 = -B/A$. Если один из корней $x_1 = 0$, то второй корень $x_2 = -B/A$.

В нашем уравнении коэффициенты $A=4$ и $B=a-8$.

Рассмотрим оба случая:

• Если $a = 0$, то второй корень равен:

$x_2 = -\frac{0 - 8}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

• Если $a = -1$, то второй корень равен:

$x_2 = -\frac{-1 - 8}{4} = -\frac{-9}{4} = \frac{9}{4}$.

Ответ: при $a = 0$ второй корень равен 2; при $a = -1$ второй корень равен $\frac{9}{4}$.

2) Рассмотрим уравнение $ax^2 + (a + 3)x + a^2 - 3a = 0$.

Для того чтобы данное уравнение было квадратным, коэффициент при $x^2$ не должен быть равен нулю, то есть $a \neq 0$.

Условие того, что один из корней равен нулю, заключается в том, что свободный член уравнения равен нулю. Свободный член $C = a^2 - 3a$.

Приравняем свободный член к нулю:

$a^2 - 3a = 0$

$a(a - 3) = 0$

Получаем два возможных значения: $a_1 = 0$ и $a_2 = 3$.

Так как уравнение должно быть квадратным, условие $a \neq 0$ должно выполняться. Поэтому значение $a = 0$ не является решением задачи.

Остается единственное возможное значение $a = 3$.

Найдем второй корень при $a=3$. По теореме Виета, если один корень $x_1=0$, то второй корень $x_2 = -B/A$. В данном уравнении $A=a$ и $B=a+3$.

При $a = 3$ второй корень равен:

$x_2 = -\frac{3 + 3}{3} = -\frac{6}{3} = -2$.

Ответ: при $a = 3$ второй корень равен -2.