Номер 20.1, страница 170 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения - номер 20.1, страница 170.

Условие.

20.1. Решите уравнение:

1) $x^2 - 4x + 3 = 0$;

2) $x^2 + 3x - 4 = 0$;

3) $x^2 + x - 56 = 0$;

4) $-x^2 + 6x + 55 = 0$;

5) $2x^2 - x - 6 = 0$;

6) $3x^2 - 4x - 20 = 0$;

7) $-5x^2 + 7x - 2 = 0$;

8) $-3x^2 + 7x + 6 = 0$;

9) $2x^2 - x - 4 = 0$;

10) $x^2 - 8x + 20 = 0$.

Решение.

1) $x^2 - 4x + 3 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты $a=1, b=-4, c=3$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{4} = 2$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-4) + 2}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 2}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$x_2 = \frac{-(-4) - 2}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 2}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Ответ: 1; 3.

2) $x^2 + 3x - 4 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=1, b=3, c=-4$.

Заметим, что сумма коэффициентов $a + b + c = 1 + 3 - 4 = 0$. В этом случае один из корней равен 1.

$x_1 = 1$.

Второй корень можно найти по теореме Виета: $x_1 \cdot x_2 = c/a$.

$1 \cdot x_2 = -4/1 \Rightarrow x_2 = -4$.

Ответ: -4; 1.

3) $x^2 + x - 56 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -1$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -56$.

Подбором находим, что эти условия выполняются для чисел 7 и -8:

$7 + (-8) = -1$

$7 \cdot (-8) = -56$

Следовательно, корни уравнения $x_1 = 7, x_2 = -8$.

Ответ: -8; 7.

4) $-x^2 + 6x + 55 = 0$

Умножим обе части уравнения на -1 для удобства:

$x^2 - 6x - 55 = 0$

Коэффициенты: $a=1, b=-6, c=-55$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-55) = 36 + 220 = 256$.

$\sqrt{D} = \sqrt{256} = 16$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-(-6) + 16}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 16}{2} = \frac{22}{2} = 11$

$x_2 = \frac{-(-6) - 16}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 16}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Ответ: -5; 11.

5) $2x^2 - x - 6 = 0$

Коэффициенты: $a=2, b=-1, c=-6$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49$.

$\sqrt{D} = \sqrt{49} = 7$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-(-1) + 7}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 7}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$x_2 = \frac{-(-1) - 7}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 7}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2} = -1.5$

Ответ: -1.5; 2.

6) $3x^2 - 4x - 20 = 0$

Коэффициенты: $a=3, b=-4, c=-20$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-20) = 16 + 240 = 256$.

$\sqrt{D} = \sqrt{256} = 16$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-(-4) + 16}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 16}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$

$x_2 = \frac{-(-4) - 16}{2 \cdot 3} = \frac{4 - 16}{6} = \frac{-12}{6} = -2$

Ответ: -2; $\frac{10}{3}$.

7) $-5x^2 + 7x - 2 = 0$

Умножим обе части уравнения на -1:

$5x^2 - 7x + 2 = 0$

Коэффициенты: $a=5, b=-7, c=2$.

Так как $a + b + c = 5 - 7 + 2 = 0$, то один из корней равен 1.

$x_1 = 1$.

Второй корень найдем по теореме Виета: $x_1 \cdot x_2 = c/a$.

$1 \cdot x_2 = 2/5 \Rightarrow x_2 = \frac{2}{5} = 0.4$.

Ответ: 0.4; 1.

8) $-3x^2 + 7x + 6 = 0$

Умножим обе части уравнения на -1:

$3x^2 - 7x - 6 = 0$

Коэффициенты: $a=3, b=-7, c=-6$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121$.

$\sqrt{D} = \sqrt{121} = 11$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-(-7) + 11}{2 \cdot 3} = \frac{7 + 11}{6} = \frac{18}{6} = 3$

$x_2 = \frac{-(-7) - 11}{2 \cdot 3} = \frac{7 - 11}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$

Ответ: $-\frac{2}{3}$; 3.

9) $2x^2 - x - 4 = 0$

Коэффициенты: $a=2, b=-1, c=-4$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 1 + 32 = 33$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{33}$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{33}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + \sqrt{33}}{4}$

$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{33}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - \sqrt{33}}{4}$

Ответ: $\frac{1 - \sqrt{33}}{4}$; $\frac{1 + \sqrt{33}}{4}$.

10) $x^2 - 8x + 20 = 0$

Коэффициенты: $a=1, b=-8, c=20$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 64 - 80 = -16$.

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет действительных корней.