Номер 20.7, страница 171 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 20. Формула корней квадратного уравнения - номер 20.7, страница 171.

Условие.

20.7. Докажите, что если старший коэффициент и свободный член квадратного уравнения имеют разные знаки, то уравнение имеет два корня.

Решение.

Рассмотрим квадратное уравнение в общем виде: $ax^2 + bx + c = 0$, где $a \neq 0$.

В этом уравнении $a$ является старшим коэффициентом, а $c$ — свободным членом.

Количество действительных корней квадратного уравнения зависит от знака его дискриминанта $D$, который вычисляется по формуле: $D = b^2 - 4ac$.
Если $D > 0$, то уравнение имеет два различных действительных корня.

По условию задачи, старший коэффициент $a$ и свободный член $c$ имеют разные знаки. Это означает, что их произведение отрицательно: $ac < 0$.

Проанализируем знак дискриминанта $D$ при данном условии.

1. Слагаемое $b^2$ является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно, то есть $b^2 \ge 0$.

2. Слагаемое $-4ac$. Так как по условию $ac < 0$, то произведение $-4 \cdot (ac)$ будет положительным, поскольку является произведением двух отрицательных чисел ($-4$ и $ac$). Таким образом, $-4ac > 0$.

Дискриминант $D$ является суммой неотрицательного числа ($b^2$) и строго положительного числа ($-4ac$):
$D = \underbrace{b^2}_{\ge 0} + \underbrace{(-4ac)}_{> 0}$.
Сумма неотрицательного и положительного числа всегда является положительным числом. Следовательно, $D > 0$.

Поскольку дискриминант квадратного уравнения строго больше нуля ($D > 0$), уравнение всегда имеет два различных действительных корня. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.