Номер 19.9, страница 163 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 19. Квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений - номер 19.9, страница 163.

Условие.

19.9. Составьте квадратное уравнение, один из корней которого равен 1 и которое является:

1) полным и неприведённым;

2) полным и приведённым;

3) неполным и неприведённым;

4) неполным и приведённым.

Решение.

Общий вид квадратного уравнения: $ax^2 + bx + c = 0$, где $a \neq 0$. Если один из корней уравнения равен 1, то при подстановке $x=1$ в уравнение мы получим верное числовое равенство: $a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c = 0$ Отсюда получаем важное соотношение между коэффициентами: $a + b + c = 0$.

Напомним определения:

• Полное квадратное уравнение — это уравнение, в котором все коэффициенты $a$, $b$, $c$ отличны от нуля.
• Неполное квадратное уравнение — это уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов $b$ или $c$ равен нулю.
• Приведённое квадратное уравнение — это уравнение, в котором старший коэффициент $a = 1$.
• Неприведённое квадратное уравнение — это уравнение, в котором старший коэффициент $a \neq 1$.

Составим уравнения для каждого случая, используя условие $a + b + c = 0$.

1) полным и неприведённым

Уравнение должно быть полным, значит $b \neq 0$ и $c \neq 0$. Уравнение должно быть неприведённым, значит $a \neq 1$ (и $a \neq 0$). Пусть $a = 2$. Это удовлетворяет условию неприведённости. Пусть $b = 3$. Это удовлетворяет условию полноты. Теперь найдём коэффициент $c$ из условия $a + b + c = 0$: $2 + 3 + c = 0$ $5 + c = 0$ $c = -5$ Так как $c = -5 \neq 0$, условие полноты выполняется. Таким образом, мы получили уравнение $2x^2 + 3x - 5 = 0$. Оно является полным и неприведённым, и один из его корней равен 1.

Ответ: $2x^2 + 3x - 5 = 0$.

2) полным и приведённым

Уравнение должно быть полным, значит $b \neq 0$ и $c \neq 0$. Уравнение должно быть приведённым, значит $a = 1$. Подставим $a=1$ в условие $a + b + c = 0$: $1 + b + c = 0$ Пусть $b = 5$. Это удовлетворяет условию полноты. Теперь найдём коэффициент $c$: $1 + 5 + c = 0$ $6 + c = 0$ $c = -6$ Так как $c = -6 \neq 0$, условие полноты выполняется. Таким образом, мы получили уравнение $x^2 + 5x - 6 = 0$. Оно является полным и приведённым, и один из его корней равен 1.

Ответ: $x^2 + 5x - 6 = 0$.

3) неполным и неприведённым

Уравнение должно быть неполным, значит $b = 0$ или $c = 0$. Уравнение должно быть неприведённым, значит $a \neq 1$ (и $a \neq 0$). Рассмотрим случай, когда $b=0$. Условие $a+b+c=0$ примет вид $a+c=0$, или $c = -a$. Выберем $a=3$. Это удовлетворяет условию неприведённости. Тогда $c = -3$. Получаем уравнение $3x^2 - 3 = 0$. В этом уравнении $a=3 \neq 1$, $b=0$, $c=-3 \neq 0$. Оно является неполным и неприведённым, и один из его корней равен 1 ($3 \cdot 1^2 - 3 = 0$).

Ответ: $3x^2 - 3 = 0$.

4) неполным и приведённым

Уравнение должно быть неполным, значит $b = 0$ или $c = 0$. Уравнение должно быть приведённым, значит $a = 1$. Подставим $a=1$ в условие $a + b + c = 0$: $1 + b + c = 0$ Рассмотрим случай, когда $c=0$. Тогда $1+b=0$, откуда $b=-1$. Получаем уравнение $x^2 - x = 0$. В этом уравнении $a=1$, $b=-1 \neq 0$, $c=0$. Оно является неполным и приведённым, и один из его корней равен 1 ($1^2 - 1 = 0$).

Ответ: $x^2 - x = 0$.