Номер 19.3, страница 163 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 19. Квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений - номер 19.3, страница 163.

Условие.

19.3. Решите уравнение:

1) $(3x-1)(x+4)=-4;$

2) $(2x-1)^2-6(6-x)=2x.$

Решение.

1) $(3x - 1)(x + 4) = -4$

Для решения уравнения сначала раскроем скобки в левой части:

$3x \cdot x + 3x \cdot 4 - 1 \cdot x - 1 \cdot 4 = -4$

$3x^2 + 12x - x - 4 = -4$

Приведем подобные слагаемые:

$3x^2 + 11x - 4 = -4$

Теперь перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение, равное нулю:

$3x^2 + 11x - 4 + 4 = 0$

$3x^2 + 11x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Его можно решить, вынеся общий множитель $x$ за скобки:

$x(3x + 11) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных случая:

$x_1 = 0$

или

$3x + 11 = 0$

Решим второе уравнение:

$3x = -11$

$x_2 = -\frac{11}{3}$

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $0$; $-\frac{11}{3}$.

2) $(2x - 1)^2 - 6(6 - x) = 2x$

Для решения этого уравнения также начнем с раскрытия скобок в левой части. Для первого слагаемого используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 - 6 \cdot 6 - 6 \cdot (-x) = 2x$

$4x^2 - 4x + 1 - 36 + 6x = 2x$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$4x^2 + (-4x + 6x) + (1 - 36) = 2x$

$4x^2 + 2x - 35 = 2x$

Перенесем все члены в левую часть:

$4x^2 + 2x - 35 - 2x = 0$

$4x^2 - 35 = 0$

Получили неполное квадратное уравнение. Выразим $x^2$:

$4x^2 = 35$

$x^2 = \frac{35}{4}$

Теперь найдем значения $x$, извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения. Не забываем про два возможных знака корня (плюс и минус):

$x = \pm\sqrt{\frac{35}{4}}$

$x = \pm\frac{\sqrt{35}}{\sqrt{4}}$

$x = \pm\frac{\sqrt{35}}{2}$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $-\frac{\sqrt{35}}{2}$; $\frac{\sqrt{35}}{2}$.