Номер 18.17, страница 157 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 18. Функция y = √x и её график - номер 18.17, страница 157.

Условие.

18.17. Решите уравнение:

$\sqrt{x-2+\sqrt{2x-5}} + \sqrt{x+2+3\sqrt{2x-5}} = 7\sqrt{2}.$

Решение.

Исходное уравнение:$$ \sqrt{x - 2 + \sqrt{2x - 5}} + \sqrt{x + 2 + 3\sqrt{2x - 5}} = 7\sqrt{2} $$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ)
Все выражения, находящиеся под знаком квадратного корня, должны быть неотрицательными.

а) $2x - 5 \ge 0 \implies 2x \ge 5 \implies x \ge 2.5$.

б) $x + 2 + 3\sqrt{2x - 5} \ge 0$.
При $x \ge 2.5$ имеем $x+2 > 0$ и $3\sqrt{2x - 5} \ge 0$. Сумма двух неотрицательных слагаемых, из которых хотя бы одно строго положительное, всегда положительна. Таким образом, это неравенство выполняется для всех $x \ge 2.5$.

в) $x - 2 + \sqrt{2x - 5} \ge 0$.
Чтобы проверить это условие, сделаем замену $t = \sqrt{2x - 5}$, где $t \ge 0$. Из замены следует, что $t^2 = 2x - 5$, откуда $x = \frac{t^2+5}{2}$.
Подставим выражение для $x$ в неравенство:$$ \frac{t^2+5}{2} - 2 + t \ge 0 $$$$ \frac{t^2+5-4}{2} + t \ge 0 $$$$ \frac{t^2+1+2t}{2} \ge 0 $$$$ \frac{(t+1)^2}{2} \ge 0 $$Это неравенство верно для любого значения $t$, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен.

Таким образом, ОДЗ уравнения определяется только первым условием: $x \ge 2.5$.

2. Упростим выражения под внешними корнями
Заметим, что выражения под внешними корнями можно представить в виде полных квадратов. Используем замену, введенную ранее: $t = \sqrt{2x - 5}$, где $t \ge 0$, и $x = \frac{t^2+5}{2}$.

Первый член уравнения:$$ x - 2 + \sqrt{2x - 5} = \frac{t^2+5}{2} - 2 + t = \frac{t^2+5-4+2t}{2} = \frac{t^2+2t+1}{2} = \frac{(t+1)^2}{2} $$

Второй член уравнения:$$ x + 2 + 3\sqrt{2x - 5} = \frac{t^2+5}{2} + 2 + 3t = \frac{t^2+5+4+6t}{2} = \frac{t^2+6t+9}{2} = \frac{(t+3)^2}{2} $$

3. Подставим упрощенные выражения в уравнение$$ \sqrt{\frac{(t+1)^2}{2}} + \sqrt{\frac{(t+3)^2}{2}} = 7\sqrt{2} $$$$ \frac{|t+1|}{\sqrt{2}} + \frac{|t+3|}{\sqrt{2}} = 7\sqrt{2} $$

Так как по определению замены $t = \sqrt{2x-5} \ge 0$, то $t+1 > 0$ и $t+3 > 0$. Следовательно, знаки модуля можно опустить:$$ \frac{t+1}{\sqrt{2}} + \frac{t+3}{\sqrt{2}} = 7\sqrt{2} $$

4. Решим полученное уравнение
Домножим обе части уравнения на $\sqrt{2}$:$$ (t+1) + (t+3) = 7\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} $$$$ 2t + 4 = 7 \cdot 2 $$$$ 2t + 4 = 14 $$$$ 2t = 10 $$$$ t = 5 $$

5. Найдем $x$
Выполним обратную замену $t = \sqrt{2x - 5}$:$$ \sqrt{2x - 5} = 5 $$Возведем обе части в квадрат:$$ 2x - 5 = 25 $$$$ 2x = 30 $$$$ x = 15 $$

6. Проверка
Найденный корень $x=15$ принадлежит ОДЗ ($15 \ge 2.5$).
Подставим $x=15$ в исходное уравнение:$$ \sqrt{15 - 2 + \sqrt{2 \cdot 15 - 5}} + \sqrt{15 + 2 + 3\sqrt{2 \cdot 15 - 5}} = $$$$ = \sqrt{13 + \sqrt{30 - 5}} + \sqrt{17 + 3\sqrt{30 - 5}} = $$$$ = \sqrt{13 + \sqrt{25}} + \sqrt{17 + 3\sqrt{25}} = \sqrt{13 + 5} + \sqrt{17 + 3 \cdot 5} = $$$$ = \sqrt{18} + \sqrt{17 + 15} = \sqrt{18} + \sqrt{32} = \sqrt{9 \cdot 2} + \sqrt{16 \cdot 2} = 3\sqrt{2} + 4\sqrt{2} = 7\sqrt{2} $$Получили верное равенство $7\sqrt{2} = 7\sqrt{2}$.

Ответ: 15.