Номер 18.15, страница 156 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 18. Функция y = √x и её график - номер 18.15, страница 156.

Условие.

18.15. Упростите выражение:

1) $\sqrt{a+1-4\sqrt{a-3}}$

2) $\sqrt{2a+2+2\sqrt{a^2+2a}} - \sqrt{a}$

Решение.

1) Упростим выражение $\sqrt{a+1-4\sqrt{a-3}}$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $a$. Выражение под корнем $\sqrt{a-3}$ должно быть неотрицательным, то есть $a-3 \ge 0$, откуда $a \ge 3$. Также, выражение под внешним корнем должно быть неотрицательным: $a+1-4\sqrt{a-3} \ge 0$.

Преобразуем подкоренное выражение $a+1-4\sqrt{a-3}$, выделив полный квадрат. Для этого представим $a+1$ как $(a-3)+4$:

$a+1-4\sqrt{a-3} = (a-3) - 4\sqrt{a-3} + 4$

Это выражение является полным квадратом разности, так как оно соответствует формуле $x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2$, где $x=\sqrt{a-3}$ и $y=2$.

$(\sqrt{a-3})^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{a-3} + 2^2 = (\sqrt{a-3}-2)^2$.

Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, условие $a+1-4\sqrt{a-3} \ge 0$ выполняется для всех $a$ из ОДЗ ($a \ge 3$).

Теперь исходное выражение можно записать как:

$\sqrt{(\sqrt{a-3}-2)^2} = |\sqrt{a-3}-2|$.

Для того чтобы раскрыть модуль, нужно рассмотреть два случая в зависимости от знака выражения $\sqrt{a-3}-2$.

Случай 1: $\sqrt{a-3}-2 \ge 0$.

Решим неравенство: $\sqrt{a-3} \ge 2$. Возводя обе части в квадрат (это возможно, так как они обе неотрицательны), получаем $a-3 \ge 4$, что дает $a \ge 7$.

При $a \ge 7$ модуль раскрывается со знаком плюс: $|\sqrt{a-3}-2| = \sqrt{a-3}-2$.

Случай 2: $\sqrt{a-3}-2 < 0$.

Решим неравенство: $\sqrt{a-3} < 2$. Возводя в квадрат, получаем $a-3 < 4$, что дает $a < 7$.

Учитывая ОДЗ ($a \ge 3$), этот случай охватывает промежуток $3 \le a < 7$.

При $3 \le a < 7$ модуль раскрывается со знаком минус: $|\sqrt{a-3}-2| = -(\sqrt{a-3}-2) = 2-\sqrt{a-3}$.

Таким образом, упрощенное выражение зависит от значения $a$.

Ответ: $\begin{cases} \sqrt{a-3}-2, & \text{если } a \ge 7 \\ 2-\sqrt{a-3}, & \text{если } 3 \le a < 7 \end{cases}$.

2) Упростим выражение $\sqrt{2a+2+2\sqrt{a^2+2a}} - \sqrt{a}$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Для существования корня $\sqrt{a}$ необходимо, чтобы $a \ge 0$. Для существования корня $\sqrt{a^2+2a}=\sqrt{a(a+2)}$ необходимо, чтобы $a(a+2) \ge 0$, что выполняется при $a \le -2$ или $a \ge 0$. Пересечение этих двух условий дает ОДЗ: $a \ge 0$.

Преобразуем выражение под большим корнем, $2a+2+2\sqrt{a^2+2a}$, выделив полный квадрат. Заметим, что $a^2+2a=a(a+2)$ и $2a+2=a+(a+2)$.

$2a+2+2\sqrt{a^2+2a} = a + (a+2) + 2\sqrt{a}\sqrt{a+2}$.

Это выражение является полным квадратом суммы по формуле $x^2+y^2+2xy=(x+y)^2$, где $x=\sqrt{a}$ и $y=\sqrt{a+2}$.

$(\sqrt{a})^2 + (\sqrt{a+2})^2 + 2\sqrt{a}\sqrt{a+2} = (\sqrt{a}+\sqrt{a+2})^2$.

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

$\sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{a+2})^2} - \sqrt{a} = |\sqrt{a}+\sqrt{a+2}| - \sqrt{a}$.

В области допустимых значений $a \ge 0$, слагаемые $\sqrt{a}$ и $\sqrt{a+2}$ являются неотрицательными. Их сумма $\sqrt{a}+\sqrt{a+2}$ также неотрицательна. Поэтому знак модуля можно опустить:

$|\sqrt{a}+\sqrt{a+2}| = \sqrt{a}+\sqrt{a+2}$.

Выражение упрощается следующим образом:

$(\sqrt{a}+\sqrt{a+2}) - \sqrt{a} = \sqrt{a}+\sqrt{a+2}-\sqrt{a} = \sqrt{a+2}$.

Ответ: $\sqrt{a+2}$.