Номер 18.10, страница 156 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 18. Функция y = √x и её график - номер 18.10, страница 156.

Условие.

18.10. Постройте график уравнения:

1) $x = \sqrt{y}$;

2) $(x + \sqrt{y})(y - \sqrt{x}) = 0$.

Решение.

1) $x = \sqrt{y}$

1. Найдём область определения уравнения. Так как подкоренное выражение не может быть отрицательным, $y \ge 0$. Арифметический квадратный корень всегда является неотрицательным числом, поэтому $x \ge 0$.

2. Чтобы получить более привычный вид функции, выразим $y$ через $x$. Для этого возведём обе части уравнения в квадрат:
$x^2 = (\sqrt{y})^2$
$y = x^2$

3. Таким образом, нам нужно построить график функции $y = x^2$ с учётом найденной области определения: $x \ge 0$ и $y \ge 0$.

График функции $y = x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вверх. Условие $x \ge 0$ означает, что мы должны взять только правую ветвь этой параболы. Условие $y \ge 0$ для этой ветви выполняется автоматически.

Построим график по точкам:

• при $x=0$, $y=0^2=0$ → точка (0; 0)
• при $x=1$, $y=1^2=1$ → точка (1; 1)
• при $x=2$, $y=2^2=4$ → точка (2; 4)

Графиком уравнения является правая ветвь параболы $y=x^2$.

Ответ: Графиком уравнения является ветвь параболы $y=x^2$, расположенная в первой координатной четверти.

2) $(x + \sqrt{y})(y - \sqrt{x}) = 0$

1. Найдём область определения уравнения (ОДЗ). Подкоренные выражения должны быть неотрицательными:
$x \ge 0$
$y \ge 0$
Это означает, что график уравнения целиком находится в первой координатной четверти, включая её границы (положительные полуоси).

2. Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений с учётом ОДЗ:
$x + \sqrt{y} = 0$ или $y - \sqrt{x} = 0$.

3. Рассмотрим каждое уравнение отдельно.

а) $x + \sqrt{y} = 0$
$\sqrt{y} = -x$
Из ОДЗ мы знаем, что $x \ge 0$ и $\sqrt{y} \ge 0$. Тогда левая часть уравнения $(\sqrt{y})$ неотрицательна, а правая часть $(-x)$ неположительна. Равенство возможно только в том случае, если обе части равны нулю.
$x = 0$ и $y = 0$.
Решением этого уравнения является одна точка — начало координат (0; 0).

б) $y - \sqrt{x} = 0$
$y = \sqrt{x}$
Это стандартная функция, графиком которой является ветвь параболы, выходящая из начала координат и расположенная в первой координатной четверти. Условия ОДЗ ($x \ge 0, y \ge 0$) для этого графика выполняются.

4. График исходного уравнения является объединением решений, полученных в пунктах а) и б).

Мы получили точку (0; 0) и график функции $y = \sqrt{x}$. Поскольку точка (0; 0) принадлежит графику функции $y = \sqrt{x}$ (при $x=0, y=0$), то итоговый график совпадает с графиком функции $y = \sqrt{x}$.

Построим график по точкам:

• при $x=0$, $y=\sqrt{0}=0$ → точка (0; 0)
• при $x=1$, $y=\sqrt{1}=1$ → точка (1; 1)
• при $x=4$, $y=\sqrt{4}=2$ → точка (4; 2)

Ответ: Графиком уравнения является график функции $y = \sqrt{x}$.