Номер 18.5, страница 156 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 18. Функция y = √x и её график - номер 18.5, страница 156.

Условие.

18.5. Решите графически уравнение:

1) $\sqrt{x} = -x - 1;$

2) $\sqrt{x} = 2 - x;$

3) $\sqrt{x} = \frac{8}{x}.$

Решение.

1) Для решения уравнения $ \sqrt{x} = -x - 1 $ графически, построим в одной системе координат графики двух функций: $ y = \sqrt{x} $ и $ y = -x - 1 $.

График функции $ y = \sqrt{x} $ — это ветвь параболы, которая начинается в точке (0, 0) и проходит через точки (1, 1), (4, 2) и т.д. Область определения этой функции $ x \ge 0 $, а область значений $ y \ge 0 $.

График функции $ y = -x - 1 $ — это прямая линия. Для ее построения найдем две точки:

• Если $ x = 0 $, то $ y = -0 - 1 = -1 $. Точка (0, -1).
• Если $ x = -1 $, то $ y = -(-1) - 1 = 0 $. Точка (-1, 0).

Построим эти графики. График $ y = \sqrt{x} $ целиком лежит в области, где $ y \ge 0 $ (первая координатная четверть). Прямая $ y = -x - 1 $ находится в области $ y \ge 0 $ только при условии $ -x - 1 \ge 0 $, что равносильно $ x \le -1 $.

Для нахождения решения необходимо, чтобы одновременно выполнялись условия $ x \ge 0 $ (из области определения корня) и $ x \le -1 $ (из области значений корня). Эти условия несовместимы, так как нет чисел, которые были бы одновременно больше или равны нулю и меньше или равны -1. Следовательно, графики функций не пересекаются.

Ответ: нет корней.

2) Для решения уравнения $ \sqrt{x} = 2 - x $ графически, построим в одной системе координат графики функций $ y = \sqrt{x} $ и $ y = 2 - x $.

График функции $ y = \sqrt{x} $ — ветвь параболы. Некоторые точки для построения: (0, 0), (1, 1), (4, 2).

График функции $ y = 2 - x $ — прямая линия. Найдем две точки для ее построения:

• Если $ x = 0 $, то $ y = 2 - 0 = 2 $. Точка (0, 2).
• Если $ x = 2 $, то $ y = 2 - 2 = 0 $. Точка (2, 0).

Построив графики, мы видим, что они пересекаются в одной точке. Из графика можно предположить, что координаты точки пересечения (1, 1). Выполним проверку:

• Подставим $ x=1 $ в первое уравнение: $ y = \sqrt{1} = 1 $.
• Подставим $ x=1 $ во второе уравнение: $ y = 2 - 1 = 1 $.

Так как в обоих случаях получилось $ y=1 $, точка (1, 1) действительно является точкой пересечения. Абсцисса этой точки и есть решение уравнения.

Ответ: $ x = 1 $.

3) Для решения уравнения $ \sqrt{x} = \frac{8}{x} $ графически, построим в одной системе координат графики функций $ y = \sqrt{x} $ и $ y = \frac{8}{x} $.

Область определения уравнения задается условиями $ x \ge 0 $ (из-за корня) и $ x \ne 0 $ (из-за знаменателя), что в совокупности дает $ x > 0 $.

График функции $ y = \sqrt{x} $ — ветвь параболы. Некоторые точки: (1, 1), (4, 2), (9, 3).

График функции $ y = \frac{8}{x} $ — гипербола. Поскольку $ x > 0 $, нас интересует только ее ветвь в первой координатной четверти. Некоторые точки для построения:

• Если $ x = 1 $, то $ y = \frac{8}{1} = 8 $. Точка (1, 8).
• Если $ x = 2 $, то $ y = \frac{8}{2} = 4 $. Точка (2, 4).
• Если $ x = 4 $, то $ y = \frac{8}{4} = 2 $. Точка (4, 2).
• Если $ x = 8 $, то $ y = \frac{8}{8} = 1 $. Точка (8, 1).

Построив графики, мы видим, что они пересекаются в одной точке. Сравнивая таблицы точек для обоих графиков, легко заметить общую точку (4, 2). Проверим:

• Подставим $ x=4 $ в первое уравнение: $ y = \sqrt{4} = 2 $.
• Подставим $ x=4 $ во второе уравнение: $ y = \frac{8}{4} = 2 $.

Точка (4, 2) является точкой пересечения графиков. Абсцисса этой точки является решением уравнения.

Ответ: $ x = 4 $.