Номер 18.2, страница 155 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 18. Функция y = √x и её график - номер 18.2, страница 155.

Условие.

18.2. Решите неравенство:

1) $\sqrt{x+2} \ge 3$;

2) $\sqrt{1-2x} < 2$;

3) $\sqrt{x+3} > \sqrt{1-4x}$;

4) $\sqrt{2x+1} \le \sqrt{x-5}$;

5) $\sqrt{|x|-1} \ge 2$;

6) $\sqrt{|x|-2} < 1$.

Решение.

1) $\sqrt{x+2} \ge 3$

Данное иррациональное неравенство равносильно системе, состоящей из условия существования корня (область допустимых значений, ОДЗ) и самого неравенства, обе части которого возведены в квадрат (это возможно, так как обе части неотрицательны).

$\begin{cases} x+2 \ge 0 \\ (\sqrt{x+2})^2 \ge 3^2 \end{cases}$

Решим первое неравенство, чтобы найти ОДЗ:

$x \ge -2$

Решим второе неравенство:

$x+2 \ge 9$

$x \ge 7$

Теперь найдем пересечение решений системы:

$\begin{cases} x \ge -2 \\ x \ge 7 \end{cases}$

Общим решением является $x \ge 7$.

Ответ: $x \in [7, +\infty)$.

2) $\sqrt{1-2x} < 2$

Неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} 1-2x \ge 0 \\ (\sqrt{1-2x})^2 < 2^2 \end{cases}$

Найдем ОДЗ из первого неравенства:

$1 \ge 2x$

$x \le \frac{1}{2}$

Решим второе неравенство, возведя обе части в квадрат:

$1-2x < 4$

$-2x < 3$

При делении на -2 знак неравенства меняется на противоположный:

$x > -\frac{3}{2}$

Найдем пересечение решений системы:

$\begin{cases} x \le \frac{1}{2} \\ x > -\frac{3}{2} \end{cases}$

Общим решением является интервал $(-\frac{3}{2}, \frac{1}{2}]$.

Ответ: $x \in (-\frac{3}{2}, \frac{1}{2}]$.

3) $\sqrt{x+3} > \sqrt{1-4x}$

Так как функция $y=\sqrt{t}$ является возрастающей, данное неравенство равносильно системе, включающей условия неотрицательности подкоренных выражений:

$\begin{cases} x+3 \ge 0 \\ 1-4x \ge 0 \\ x+3 > 1-4x \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы по отдельности:

1) $x+3 \ge 0 \Rightarrow x \ge -3$

2) $1-4x \ge 0 \Rightarrow 1 \ge 4x \Rightarrow x \le \frac{1}{4}$

3) $x+3 > 1-4x \Rightarrow 5x > -2 \Rightarrow x > -\frac{2}{5}$

Теперь найдем пересечение всех трех решений:

$\begin{cases} x \ge -3 \\ x \le \frac{1}{4} \\ x > -\frac{2}{5} \end{cases}$

Общим решением системы является промежуток $(-\frac{2}{5}, \frac{1}{4}]$.

Ответ: $x \in (-\frac{2}{5}, \frac{1}{4}]$.

4) $\sqrt{2x+1} \le \sqrt{x-5}$

Неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} 2x+1 \ge 0 \\ x-5 \ge 0 \\ 2x+1 \le x-5 \end{cases}$

Решим каждое неравенство:

1) $2x+1 \ge 0 \Rightarrow 2x \ge -1 \Rightarrow x \ge -\frac{1}{2}$

2) $x-5 \ge 0 \Rightarrow x \ge 5$

3) $2x+1 \le x-5 \Rightarrow x \le -6$

Найдем пересечение решений системы:

$\begin{cases} x \ge -\frac{1}{2} \\ x \ge 5 \\ x \le -6 \end{cases}$

Условия $x \ge 5$ и $x \le -6$ не могут выполняться одновременно, поэтому система не имеет решений.

Ответ: $x \in \emptyset$.

5) $\sqrt{|x|-1} \ge 2$

Неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} |x|-1 \ge 0 \\ (\sqrt{|x|-1})^2 \ge 2^2 \end{cases}$

Решим первое неравенство (ОДЗ):

$|x| \ge 1 \Leftrightarrow x \in (-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$

Решим второе неравенство:

$|x|-1 \ge 4$

$|x| \ge 5 \Leftrightarrow x \in (-\infty, -5] \cup [5, +\infty)$

Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ. Так как множество решений $|x| \ge 5$ полностью содержится в множестве $|x| \ge 1$, пересечением будет само множество $|x| \ge 5$.

Ответ: $x \in (-\infty, -5] \cup [5, +\infty)$.

6) $\sqrt{|x|-2} < 1$

Неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} |x|-2 \ge 0 \\ (\sqrt{|x|-2})^2 < 1^2 \end{cases}$

Решим первое неравенство (ОДЗ):

$|x| \ge 2 \Leftrightarrow x \in (-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$

Решим второе неравенство:

$|x|-2 < 1$

$|x| < 3 \Leftrightarrow -3 < x < 3$

Теперь найдем пересечение ОДЗ $x \in (-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$ и решения второго неравенства $x \in (-3, 3)$.

Пересечение $(-3, 3)$ с $(-\infty, -2]$ дает промежуток $(-3, -2]$.

Пересечение $(-3, 3)$ с $[2, +\infty)$ дает промежуток $[2, 3)$.

Объединяя эти два промежутка, получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in (-3, -2] \cup [2, 3)$.