Номер 17.46, страница 151 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни - номер 17.46, страница 151.

Условие.

17.46. Упростите выражение:

1) $\sqrt{a + 4\sqrt{a - 4}}$;

2) $\sqrt{x + 2\sqrt{2x - 4}}$;

3) $\sqrt{\frac{a + 1}{4} + \frac{\sqrt{a}}{2}}$;

4) $\frac{\sqrt{2a + 2\sqrt{a^2 - 4b^2}} - \sqrt{a - 2b}}{\sqrt{a + 2b}}$;

5) $\sqrt{2 - \sqrt{4 - a^2}}$, если $0 \le a \le 2$;

6) $\sqrt{3a - 1 + 2\sqrt{2a^2 - a}}$, если $a \ge \frac{1}{2}$.

Решение.

1) Упростим выражение $\sqrt{a + 4\sqrt{a - 4}}$.
Для этого представим подкоренное выражение в виде полного квадрата, используя формулу $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $a - 4 \ge 0$, откуда $a \ge 4$.
Представим выражение $a + 4\sqrt{a - 4}$ следующим образом:
$a + 4\sqrt{a - 4} = (a - 4) + 4 + 4\sqrt{a - 4} = (\sqrt{a-4})^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{a-4} + 2^2$.
Это выражение является полным квадратом суммы: $(\sqrt{a-4} + 2)^2$.
Тогда исходное выражение примет вид:
$\sqrt{(\sqrt{a-4} + 2)^2} = |\sqrt{a-4} + 2|$.
Так как по ОДЗ $a \ge 4$, то $\sqrt{a-4} \ge 0$, и, следовательно, сумма $\sqrt{a-4} + 2$ всегда положительна. Поэтому модуль можно опустить.
$\sqrt{a-4} + 2$.
Ответ: $\sqrt{a-4} + 2$.

2) Упростим выражение $\sqrt{x + 2\sqrt{2x - 4}}$.
ОДЗ: $2x - 4 \ge 0 \Rightarrow 2x \ge 4 \Rightarrow x \ge 2$.
Попробуем представить подкоренное выражение $x + 2\sqrt{2x - 4}$ в виде полного квадрата $(\sqrt{A}+\sqrt{B})^2 = A+B+2\sqrt{AB}$.
Для этого нам нужно найти такие $A$ и $B$, что $A+B = x$ и $AB = 2x-4$.
Разложим $2x-4$ на множители: $2x-4 = 2(x-2)$.
Пусть $A = x-2$ и $B = 2$.
Проверим их сумму: $A+B = (x-2) + 2 = x$. Условие выполняется.
Проверим их произведение: $AB = (x-2) \cdot 2 = 2x-4$. Условие выполняется.
Таким образом, подкоренное выражение можно записать как:
$x + 2\sqrt{2x-4} = (x-2) + 2 + 2\sqrt{(x-2) \cdot 2} = (\sqrt{x-2})^2 + (\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{x-2}\sqrt{2} = (\sqrt{x-2} + \sqrt{2})^2$.
Тогда исходное выражение равно:
$\sqrt{(\sqrt{x-2} + \sqrt{2})^2} = |\sqrt{x-2} + \sqrt{2}|$.
Поскольку $x \ge 2$, оба корня $\sqrt{x-2}$ и $\sqrt{2}$ неотрицательны, их сумма также неотрицательна. Модуль можно опустить.
$\sqrt{x-2} + \sqrt{2}$.
Ответ: $\sqrt{x-2} + \sqrt{2}$.

3) Упростим выражение $\sqrt{\frac{a+1}{4} + \frac{\sqrt{a}}{2}}$.
ОДЗ: $a \ge 0$.
Приведем выражение под корнем к общему знаменателю:
$\frac{a+1}{4} + \frac{\sqrt{a}}{2} = \frac{a+1+2\sqrt{a}}{4}$.
Числитель $a+1+2\sqrt{a}$ можно представить в виде полного квадрата: $(\sqrt{a})^2 + 2\sqrt{a} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{a}+1)^2$.
Тогда подкоренное выражение равно $\frac{(\sqrt{a}+1)^2}{4} = \left(\frac{\sqrt{a}+1}{2}\right)^2$.
Извлекаем корень:
$\sqrt{\left(\frac{\sqrt{a}+1}{2}\right)^2} = \left|\frac{\sqrt{a}+1}{2}\right|$.
Так как $a \ge 0$, то $\sqrt{a} \ge 0$, и $\sqrt{a}+1 > 0$. Знаменатель 2 также положителен. Следовательно, вся дробь положительна, и модуль можно опустить.
$\frac{\sqrt{a}+1}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{a}+1}{2}$.

4) Упростим выражение $\frac{\sqrt{2a + 2\sqrt{a^2 - 4b^2}} - \sqrt{a - 2b}}{\sqrt{a + 2b}}$.
ОДЗ: $a+2b>0$, $a-2b \ge 0$ и $a^2-4b^2 \ge 0$. Из первых двух условий ($a > -2b$, $a \ge 2b$) следует, что $a^2 \ge 4b^2$, т.е. третье условие выполняется автоматически. Таким образом, ОДЗ: $a \ge 2b$ и $a+2b > 0$.
Рассмотрим числитель. Упростим первое слагаемое $\sqrt{2a + 2\sqrt{a^2 - 4b^2}}$ по формуле сложного радикала $\sqrt{X+2\sqrt{Y}}=\sqrt{A}+\sqrt{B}$, где $A+B=X, AB=Y$.
Здесь $X=2a$ и $Y=a^2 - 4b^2 = (a-2b)(a+2b)$.
Подберем $A$ и $B$. Пусть $A=a+2b$ и $B=a-2b$.
Проверяем: $A+B = (a+2b)+(a-2b)=2a$. Верно.
$AB = (a+2b)(a-2b)=a^2-4b^2$. Верно.
Следовательно, $\sqrt{2a + 2\sqrt{a^2 - 4b^2}} = \sqrt{(\sqrt{a+2b}+\sqrt{a-2b})^2} = |\sqrt{a+2b}+\sqrt{a-2b}|$.
В силу ОДЗ оба корня существуют и неотрицательны, поэтому их сумма неотрицательна. Модуль можно опустить.
$\sqrt{a+2b}+\sqrt{a-2b}$.
Подставим это в исходное выражение:
$\frac{(\sqrt{a+2b}+\sqrt{a-2b}) - \sqrt{a - 2b}}{\sqrt{a + 2b}} = \frac{\sqrt{a+2b}}{\sqrt{a+2b}} = 1$.
Ответ: $1$.

5) Упростим выражение $\sqrt{2 - \sqrt{4 - a^2}}$, если $0 \le a \le 2$.
Преобразуем выражение под внешним корнем так, чтобы можно было применить формулу для сложного радикала. Для этого умножим и разделим его на $\sqrt{2}$:
$\sqrt{2 - \sqrt{4 - a^2}} = \sqrt{\frac{4 - 2\sqrt{4 - a^2}}{2}} = \frac{\sqrt{4 - 2\sqrt{4 - a^2}}}{\sqrt{2}}$.
Теперь упростим числитель $\sqrt{4 - 2\sqrt{4 - a^2}}$ по формуле $\sqrt{X-2\sqrt{Y}}=\sqrt{A}-\sqrt{B}$, где $A>B$, $A+B=X, AB=Y$.
Здесь $X=4$ и $Y=4 - a^2 = (2-a)(2+a)$.
Пусть $A=2+a$ и $B=2-a$.
Проверяем: $A+B = (2+a)+(2-a)=4$. Верно.
$AB = (2+a)(2-a)=4-a^2$. Верно.
Так как $0 \le a \le 2$, то $2+a \ge 2-a$, поэтому $\sqrt{A} \ge \sqrt{B}$.
Следовательно, $\sqrt{4 - 2\sqrt{4 - a^2}} = \sqrt{(\sqrt{2+a}-\sqrt{2-a})^2} = |\sqrt{2+a}-\sqrt{2-a}| = \sqrt{2+a}-\sqrt{2-a}$.
Подставим результат в преобразованное выражение:
$\frac{\sqrt{2+a}-\sqrt{2-a}}{\sqrt{2}}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2+a} - \sqrt{2-a}}{\sqrt{2}}$.

6) Упростим выражение $\sqrt{3a - 1 + 2\sqrt{2a^2 - a}}$, если $a \ge \frac{1}{2}$.
ОДЗ: $2a^2-a = a(2a-1) \ge 0$. При $a \ge \frac{1}{2}$ это условие выполняется.
Представим подкоренное выражение в виде полного квадрата по формуле $\sqrt{X+2\sqrt{Y}}=\sqrt{A}+\sqrt{B}$, где $A+B=X, AB=Y$.
Здесь $X=3a-1$ и $Y=2a^2-a=a(2a-1)$.
Пусть $A=2a-1$ и $B=a$.
Проверяем: $A+B = (2a-1)+a = 3a-1$. Верно.
$AB = (2a-1)a = 2a^2-a$. Верно.
Следовательно, подкоренное выражение равно:
$3a - 1 + 2\sqrt{2a^2 - a} = (2a-1) + a + 2\sqrt{(2a-1)a} = (\sqrt{2a-1} + \sqrt{a})^2$.
Тогда исходное выражение:
$\sqrt{(\sqrt{2a-1} + \sqrt{a})^2} = |\sqrt{2a-1} + \sqrt{a}|$.
При $a \ge \frac{1}{2}$ оба корня существуют и неотрицательны, поэтому их сумма неотрицательна. Модуль можно опустить.
$\sqrt{2a-1} + \sqrt{a}$.
Ответ: $\sqrt{a} + \sqrt{2a-1}$.