Номер 17.40, страница 150 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 17. Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни - номер 17.40, страница 150.

Условие.

17.40. Докажите, что:

1) $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2 + \sqrt{2}} \cdot \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2}}} = 2;$

2) $\sqrt{2 + \sqrt{3}} \cdot \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}} = 1.$

Решение.

1) Докажем равенство: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2+\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}} = 2$.
Для этого последовательно упростим левую часть выражения, начиная с произведения двух последних сомножителей. Будем использовать формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ и свойство $\sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = \sqrt{xy}$.

Шаг 1. Перемножим третий и четвертый сомножители:
$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}} = \sqrt{(2+\sqrt{2+\sqrt{2}})(2-\sqrt{2+\sqrt{2}})} = \sqrt{2^2 - (\sqrt{2+\sqrt{2}})^2} = \sqrt{4 - (2+\sqrt{2})} = \sqrt{2-\sqrt{2}}$.

Шаг 2. Теперь исходное выражение принимает вид:
$\sqrt{2} \cdot \sqrt{2+\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{2}}$.
Снова применим тот же прием к последним двум сомножителям:
$\sqrt{2+\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{2}} = \sqrt{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})} = \sqrt{2^2 - (\sqrt{2})^2} = \sqrt{4 - 2} = \sqrt{2}$.

Шаг 3. Подставив полученное значение, имеем:
$\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$.

Таким образом, мы преобразовали левую часть равенства к $2$, что и требовалось доказать.
Ответ: тождество доказано.

2) Докажем равенство: $\sqrt{2+\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}} = 1$.
Упростим левую часть, последовательно перемножая сомножители с конца, используя формулу разности квадратов.

Шаг 1. Произведение третьего и четвертого множителей:
$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}} = \sqrt{2^2 - (\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}})^2} = \sqrt{4 - (2+\sqrt{2+\sqrt{3}})} = \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}}$.

Шаг 2. Выражение принимает вид: $\sqrt{2+\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}}$.
Перемножим последние два множителя:
$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}} = \sqrt{2^2 - (\sqrt{2+\sqrt{3}})^2} = \sqrt{4 - (2+\sqrt{3})} = \sqrt{2-\sqrt{3}}$.

Шаг 3. Выражение принимает вид: $\sqrt{2+\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{3}}$.
Вычислим последнее произведение:
$\sqrt{2+\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{3}} = \sqrt{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \sqrt{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4-3} = \sqrt{1} = 1$.

Таким образом, мы преобразовали левую часть равенства к $1$, что и требовалось доказать.
Ответ: тождество доказано.